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Hallo! Ich hab eine Frage in Ana bei der ich einfach nicht weiterkomme. Wär echt froh wenn mir einer von euch helfen könnte...
a) Zeigen Sie das folgende Rekursionsprinzip: Für eine Teilmenge T [mm] \subset \IN [/mm] gelte:
1,2 [mm] \in [/mm] T [mm] \wedge(\forall_n [/mm] n,n+1 [mm] \in T\Rightarrow [/mm] n+2 [mm] \in [/mm] T).
Dann ist [mm] T=\IN
[/mm]
Hinweis: Verwenden Sie das Induktionsprinzip für eine geeignete Teilmenge [mm] T'\subset \IN
[/mm]
b)Ein Fruchtfliegenforscher entwickelte folgendes Populationsmodell: Es sei [mm] F_n [/mm] die Anzahl der Fruchtfliegenpaare in der Woche n. Ein neugeborenes Fruchtfliegenpaar setzt dabei in der übernächsten Woche zwei neue Paare in die Welt. Setzen wir dei Unsterblichkeit der Fruchtfliegen voraus, genügt somit die Größe [mm] F_n [/mm] der Rekursionsformel
[mm] \forall_{n \ge 2} F_{n+1}=F_n+2F_{n-1}.
[/mm]
Zeigen Sie ausgehend von den Anfangswerten [mm] F_1=1 [/mm] und [mm] F_2=1 [/mm] die explizite Formel
[mm] \forall_{n \in \IN} F_n=-\bruch{1}{3}(-1)^n+\bruch{1}{3}2^n
[/mm]
Vielen Dank schon mal...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo! Ich hab eine Frage in Ana bei der ich einfach nicht
> weiterkomme. Wär echt froh wenn mir einer von euch helfen
> könnte...
Hallo,
gerne möchte ich Dir helfen, schade nur, daß Du nicht mitteilst, wie weit deine eigenen Überlegungen gediehen sind. Daher nur einige Hinweise.
>
> a) Zeigen Sie das folgende Rekursionsprinzip: Für eine
> Teilmenge T [mm]\subset \IN[/mm] gelte:
> 1,2 [mm]\in[/mm] T [mm]\wedge(\forall_n[/mm] n,n+1 [mm]\in T\Rightarrow[/mm]
> n+2 [mm]\in[/mm] T).
> Dann ist [mm]T=\IN[/mm]
> Hinweis: Verwenden Sie das Induktionsprinzip für eine
> geeignete Teilmenge [mm]T'\subset \IN[/mm]
Meine Überlegung hierzu:
Man nehme ein T mit der geforderten Eigenschaft.
Die Idee: wenn ich zeigen kann, daß {1,2,3,...,n+2} für alle n [mm] \in \IN [/mm] Teilmenge von T ist, habe ich gezeigt, daß [mm] T\in \IN.
[/mm]
Induktionsanfang: Zeige, daß {1,2,3} [mm] \subseteq \IN
[/mm]
Induktionsschluß: sei {1,2,...,n+2} [mm] \subseteq\IN.
[/mm]
Zeige: dann ist auch {1,2,...,n+3} [mm] \in \IN.
[/mm]
> b)Ein
> Fruchtfliegenforscher entwickelte folgendes
> Populationsmodell: Es sei [mm]F_n[/mm] die Anzahl der
> Fruchtfliegenpaare in der Woche n. Ein neugeborenes
> Fruchtfliegenpaar setzt dabei in der übernächsten Woche
> zwei neue Paare in die Welt. Setzen wir dei Unsterblichkeit
> der Fruchtfliegen voraus, genügt somit die Größe [mm]F_n[/mm] der
> Rekursionsformel
> [mm]\forall_{n \ge 2} F_{n+1}=F_n+2F_{n-1}.[/mm]
> Zeigen Sie
> ausgehend von den Anfangswerten [mm]F_1=1[/mm] und [mm]F_2=1[/mm] die
> explizite Formel
> [mm]\forall_{n \in \IN} F_n=-\bruch{1}{3}(-1)^n+\bruch{1}{3}2^n[/mm]
Mit Induktion:
Induktionsanfang n=2: Ist [mm] F_{3}=F_2+2F_{1}=-\bruch{1}{3}(-1)^3+\bruch{1}{3}2^3 [/mm] ?
Induktionsschluß: Ist unter der Voraussetzung, daß die Beh. stimmt für alle n [mm] \ge [/mm] 2,
[mm] F_{n+1}=F_n+2F_{n-1}=-\bruch{1}{3}(-1)^{n+1}+\bruch{1}{3}2^{n+1}?
[/mm]
Viel Erfolg,
Gruß v. Angela
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> Vielen Dank schon mal...
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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