Rektifizierbarkeit < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mo 24.10.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Kurven auf Rektifizierbarkeit. Tipp: Kurve skizzieren und obere bzw. untere Abschätzung für die Kurvenlänge angeben.
a) [mm] \gamma: [0,1]\to\IR, t\mapsto\begin{cases} t\sin(\pi/t), & t>0 \\ 0, & t=0 \end{cases} [/mm] |
Hallo Forum,
Ich glaube nicht, dass die Kurve rektifizierbar ist (nahe 0 pendelt die Kurve hin und her). Ich weiß allerdings keine geeignete Abschätzung.
Kann mir bitte jemand helfen oder eine Idee für eine Abschätzung sagen?
Gruß,
pyw
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Hallo,
schau mal hier, da wird die Aufgabe äußerst ausführlich diskutiert.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mo 24.10.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | | b) [mm] \gamma:[0,1]\to\IR, t\mapsto\begin{cases} t^2\sin(\pi/t), & t>0 \\ 0, & t=0 \end{cases} [/mm] |
Hallo,
danke die andere Aufgabe habe ich jetzt verstanden. 
Bei Teilaufgabe b) will ich nun zeigen, dass die Kurve rektifizierbar ist.
Kann ich da sagen, dass [mm] \gamma [/mm] stetig differenzierbar ist (daraus folgt ja die Rektifizierbarkeit)? Es ist ja [mm] \lim_{t\to0}\frac{\gamma(t)-\gamma(0)}{t-0}=\lim_{t\to0}\frac{t^2\sin(\pi/t)-0}{t-0}=\lim_{t\to0}t\sin(\pi/t)=0.
[/mm]
Gruß,
pyw
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Hallo pyw,
> b) [mm]\gamma:[0,1]\to\IR, t\mapsto\begin{cases} t^2\sin(\pi/t), & t>0 \\
0, & t=0 \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
>
> danke die andere Aufgabe habe ich jetzt verstanden.
>
> Bei Teilaufgabe b) will ich nun zeigen, dass die Kurve
> rektifizierbar ist.
>
> Kann ich da sagen, dass [mm]\gamma[/mm] stetig differenzierbar ist
> (daraus folgt ja die Rektifizierbarkeit)? Es ist ja
> [mm]\lim_{t\to0}\frac{\gamma(t)-\gamma(0)}{t-0}=\lim_{t\to0}\frac{t^2\sin(\pi/t)-0}{t-0}=\lim_{t\to0}t\sin(\pi/t)=0.[/mm]
Soweit korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Grüße
reverend
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:32 Mo 24.10.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
danke für die Antwort. Jetzt frage ich mich, ob es auch gemäß des Tipps möglich ist, eine obere Abschätzung für die Kurvenlänge in Aufgabe b) zu erhalten.
Man hat ja eine Zerlegung [mm] Z=(t_0,\ldots,t_n) [/mm] und definiert die Länge einer rektifizierbaren Kurve als [mm] \sup_z\sum_{j=0}^{n-1}|\gamma(t_{j+1})-\gamma(t_j)|.
[/mm]
Ich hab probiert eine äquidistante Zerlegung [mm] (0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n}{n}) [/mm] zu nehmen. Das hat nur nicht wirklich funktioniert, da [mm] \sin(k\pi)=0 [/mm] für [mm] k\in\IZ...
[/mm]
Hat jemand eine bessere Idee?
Danke und Gruß,
pyw
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 26.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:43 Di 25.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> b) [mm]\gamma:[0,1]\to\IR, t\mapsto\begin{cases} t^2\sin(\pi/t), & t>0 \\ 0, & t=0 \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
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> danke die andere Aufgabe habe ich jetzt verstanden.
>
> Bei Teilaufgabe b) will ich nun zeigen, dass die Kurve
> rektifizierbar ist.
>
> Kann ich da sagen, dass [mm]\gamma[/mm] stetig differenzierbar ist
> (daraus folgt ja die Rektifizierbarkeit)? Es ist ja
> [mm]\lim_{t\to0}\frac{\gamma(t)-\gamma(0)}{t-0}=\lim_{t\to0}\frac{t^2\sin(\pi/t)-0}{t-0}=\lim_{t\to0}t\sin(\pi/t)=0.[/mm]
Du hast nur gezeigt, dass [mm] \gamma [/mm] in t=0 differenzierbar ist. Berechne mal [mm] \gamma'(t) [/mm] für t [mm] \in [/mm] (0,1] und schau Dir die Folge [mm] (\gamma'(1/n)) [/mm] an. Dann wirst Du sehen: [mm] \gamma' [/mm] ist in 0 nicht stetig !
FRED
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> Gruß,
> pyw
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