Rekonstruktion einer e-Funk. < Derive < Mathe-Software < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Calahad |
| Aufgabe | Ein mineralisches Substrat wird mit Pflanzenerde gemischt, um den Ertrag in Gewächshäusern zu maximieren. Subtratzahl 2 bedeutet 20% Substrat und 80% Erde. Erprobungen sind kostenintensiv. Die Gewächshausbesitzer möchten mit wenigen Daten den Zusammenhang ziwschen Substratzahl und Ertrag möglichst gut modellieren.
Eine Erprobung in drei Gewächshäusern liefert folgende Tabelle (ME = Mengeneinheiten)
Substratzahl x 2 5 8
Ertrag y in ME 1 4 1
Für Modellierungen eignen sich Exponentialfunktionen h der Form
[mm] y=h(x)=a*e^{bx+cx^{2}} [/mm] mit x,a,b,c Element reelle Zahlen, a>0, c<0.
Rekonstruieren Sie anhand der gegebenen Daten die zugehörende Exponetialfunktion. |
Ich definiere in Derive 6.10 zuerst die Funktion f(x,a,b,c) nach obigen Schema. Anschließend rufe ich den Menüpunkt Lösen ... System auf und sage 3 Gleichungen.
Dort gebe ich die Gleichungen:
f(1,a,b,c)=1
f(5,a,b,c)=4
f(8,a,b,c)=1
ein.
Ich sage dann Löse nach a,b,c auf und er liefert mir die nichstsagende Mitteilung:
[mm] [a*e^{8*b}*(6.235149080*10^{27})^{c}=1 [/mm] und [mm] a*e^{5*b}*(7.200489933*10^{10})^{c}=4 [/mm] und [mm] a*e^{2*b+4*c}=1]
[/mm]
Auch die Eingabe mit Hilfe von Solve(...) oder die direkte Eingabe der drei Gleichungen ohne eine Funktion zu definieren führen nur auf dieses Ergebnis.
Wie löse ich dieses Gleichungssystem richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Wenn du dir die Lösung genau anschaust, stellst du fest, daß Derive eigentlich gar nix gemacht hat, außer die Terme ein klein wenig umzuschreiben. Anscheinend ist Derive nicht intelligent genug für diese Aufgabe.
Vielleicht mußt du etwas nachhelfen:
Bilde den ln von den y-Werten und auch von der Formel. Letztere ist dann [mm] $\ln(a)+bx+cx^2=A+bx+cx^2$. [/mm] Damit ist das ganze nur noch eine quadratische Gleichung! Wenn Derive das lösen kann, mußt du nur noch a berechnen.
Derive sagt mir jedenfalls:
4·LN(2) 3·LN(2) LN(2)
A = - b = c = -
3 2 6
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> Hallo!
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> Wenn du dir die Lösung genau anschaust, stellst du fest,
> daß Derive eigentlich gar nix gemacht hat, außer die Terme
> ein klein wenig umzuschreiben. Anscheinend ist Derive nicht
> intelligent genug für diese Aufgabe.
>
> Vielleicht mußt du etwas nachhelfen:
>
> Bilde den ln von den y-Werten und auch von der Formel.
> Letztere ist dann [mm]\ln(a)+bx+cx^2=A+bx+cx^2[/mm]. Damit ist das
> ganze nur noch eine quadratische Gleichung! Wenn Derive das
> lösen kann, mußt du nur noch a berechnen.
>
> Derive sagt mir jedenfalls:
>
>
> 4·LN(2) 3·LN(2) LN(2)
> A = - b = c = -
> 3 2 6
Hi,
das kann ich nicht richtig nachvollziehen:
Bei meinem Derive 6 kommt auch nichts raus - habe dieselben Gleichungen da stehen.
Wenn man die drei Gleichungen jetzt mal etwas umformt:
[mm] $$a*e^{8b+64c}=1\qquad\gdw\qquad \ln [/mm] a+8b+64c=0$$
[mm] $$a*e^{5b+25c}=4\qquad\gdw\qquad\ln a+5b+25c=\ln [/mm] 4$$
[mm] $$a*e^{2b+4c}=1\qquad\gdw\qquad\ln [/mm] a+2b+4c=0$$
dann macht Derive es.
Und die Lösungen sind dann:
[mm] $$a=\bruch{\wurzel[9]{2^4}}{16}\quad\wedge\quad b=\bruch{20*\ln 2}{9}\quad\wedge\quad c=-\bruch{2*\ln 2}{9}$$
[/mm]
Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 So 24.06.2007 | | Autor: | Calahad |
Ich bedanke mich für die beiden Antworten. Haben beide weitergeholfen.
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