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Rekonstruktion einer Funktion: DRINGEND: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Mo 07.11.2005
Autor: Claudinchen

Hallo,

ich habe Grundkurs Mathematik, 12. Klasse und folgende Aufgabe zu lösen:

Eine quadratische Parabel schneidet die y-Achse bei -1 und nimmt ihr Minimum bei x = 4 ein. Im 4. Quadranten liegt unterhalb der x-Achse über dem Intervall [0;1] ein Flächenstück A zwischen der Parabel und der x-Achse, dessen Inhalt 11 beträgt.
Um welche Kurve handelt es sich?

Dem Text konnte ich entnehmen, dass es sich um eine allgemeine Funktion mit f(x)=ax² + bx + c handelt.
c = -1, da sie die y-Achse bei -1 schneidet.
Minimum bedeutet ja Tiefpunkt, der also bei x = 4 liegt. Ich war letztes Jahr im Ausland und weiß daher nicht, wie ich nun mit Hilfe des Tiefpunktes a und b errechnen soll. Muss ich die erste Ableitung bilden?

Dies wäre dann
f'(x)= 2ax + b + 0
f'(4)= 8a + b

Ist das soweit richtig oder völlig falsch? Wie muss ich weiter vorgehen??

Vielen Dank im Voraus!

MfG
Claudia

        
Bezug
Rekonstruktion einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:51 Mo 07.11.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Claudinchen,

> Eine quadratische Parabel schneidet die y-Achse bei -1 und
> nimmt ihr Minimum bei x = 4 ein. Im 4. Quadranten liegt
> unterhalb der x-Achse über dem Intervall [0;1] ein
> Flächenstück A zwischen der Parabel und der x-Achse, dessen
> Inhalt 11 beträgt.

> Dem Text konnte ich entnehmen, dass es sich um eine
> allgemeine Funktion mit f(x)=ax² + bx + c handelt.

OK!

>  c = -1, da sie die y-Achse bei -1 schneidet.

Auch richtig!

>  Minimum bedeutet ja Tiefpunkt, der also bei x = 4 liegt.
> Ich war letztes Jahr im Ausland und weiß daher nicht, wie
> ich nun mit Hilfe des Tiefpunktes a und b errechnen soll.
> Muss ich die erste Ableitung bilden?
>  
> Dies wäre dann
>  f'(x)= 2ax + b + 0
>  f'(4)= 8a + b
>  
> Ist das soweit richtig oder völlig falsch? Wie muss ich
> weiter vorgehen??

Ist wieder richtig! Nennen wir die Gleichung 8a + b = 0 einfach mal "(I)"

Fehlt nur noch die Sache mit der Fläche:

[mm] \integral_{0}^{1} {(ax^{2}+bx-1)dx} [/mm] = -11
(Minus deshalb, weil die Fläche ja im 4.Quadranten, also unterhalb der x-Achse liegen soll!)

Aus diesem Ansatz kriegst Du nun eine weitere Gleichung (Gleichung (II))
in a und b, sodass Du mit Hilfe von (I) die beiden Zahlen ausrechnen kannst.

Probier's und frag' nach, wenn irgendwas nicht hinhaut!

mfG!
Zwerglein

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