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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 So 26.08.2007 | | Autor: | miradan |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Reihenwert der Reihe [mm] \summe_{k=1}^\infty \bruch{2+2^k}{3^k} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich habe folgendes gemacht:
[mm] \summe_{k=1}^\infty \bruch{2}{3^k}+ \summe_{k=1}^\infty \bruch{2^k}{3^k}
[/mm]
= [mm] 2\summe_{k=1}^\infty \left(\bruch{1}{3}\right)^k [/mm] + [mm] 2\summe_{k=1}^\infty \left(\bruch{1}{3}\right)^k
[/mm]
=2 [mm] \summe_{k=0}^\infty \left(\left(\bruch{1}{3}\right)^k -1\right) [/mm] + 2 [mm] \summe_{k=0}^\infty \left(\left(\bruch{1}{3}\right)^k -1\right)
[/mm]
[mm] =2(\bruch{1}{1-\bruch{1}{3}}-1) [/mm] + [mm] 2(\bruch{1}{1-\bruch{1}{3}}-1)
[/mm]
= 2*0,5 + 2*0,5
= 2
Dieser Wert stimmt aber nicht, wenn ich einige Werte einsetze. Wo liegt der Fehler? Für eure Hilfe bin ich euch dankbar.
Grüße Mira
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> Bestimmen Sie den Reihenwert der Reihe [mm]\summe_{k=1}^\infty \bruch{2+2^k}{3^k}[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Also ich habe folgendes gemacht:
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> [mm]\summe_{k=1}^\infty \bruch{2}{3^k}+ \summe_{k=1}^\infty \bruch{2^k}{3^k} = 2\summe_{k=1}^\infty \left(\bruch{1}{3}\right)^k + 2\summe_{k=1}^\infty \left(\bruch{1}{3}\right)^k[/mm]
Du scheinst zu glauben, dass [mm] $\left(\frac{2}{3}\right)^k=2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^k$ [/mm] ist: mit nichten...
Wenn Du den Anfangsindex dieser Reihen von $k=1$ auf $k=0$ heruntertreiben willst, machst Du am besten Folgendes:
[mm]2\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^k+ \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^k =\frac{2}{3}\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}+\frac{2}{3}\sum_{k=1}\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}=\frac{2}{3}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{3}\right)^k+\frac{2}{3}\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^k[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 So 26.08.2007 | | Autor: | miradan |
danke! jetzt geht mir ein Licht auf *strahl*
Reihenwert: 3 ?!
das hat wirklich geholfen.
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> danke! jetzt geht mir ein Licht auf *strahl*
>
> Reihenwert: 3 ?!
Stimmt, denn es ist:
[mm]\frac{2}{3}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{3}\right)^k+\frac{2}{3}\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^k=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}+\frac{2}{3}\cdot 3=3[/mm]
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