Reihenwert anhand Parseval < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:11 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Benutzen Sie die Parsevalsche Gleichung, um die Summe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}{\bruch{1}{(2n-1)^2}}[/mm] zu berechnen.
> Hi, morgen ist Klausur, ich war das ganze Semester wegen
> Arbeitsstelle nicht in der Vorlesung und versuche jetzt,
> wenigstens die Aufgaben der Übungsklausur hinzubekommen.
> Die Parsevalsche Gleichung hat auf der einen Seite ein
> Integral und auf der anderen eine Fourierreihe; bekäme ich
> jetzt die unendliche Summe in eine Fourierreihe entwickelt,
> könnte ich einfach das Integral lösen, soweit mein Ansatz.
>
> Das Ergebnis habe ich numerisch schon erraten, bischen mit
> Excel gespielt ^^.. Reihenwert ist [mm]\bruch {\pi^2}{8}[/mm]
>
> Eine Fourierreihe setzt doch 1. eine Funktion voraus und 2.
> muss diese auch periodisch sein. Sehe ich doch richtig (?).
> Wie also bekomme ich die unendliche Summe in diese Form?
>
> Hier ein paar Links:
>
> [1]
> ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Parsevalsche_Gleichung
> [2]
> url=http://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe
> [3]
> http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=35136
>
> Bei [3] gab es ein ähnliches Problem, nur wurde der
> Lösungsweg weggelassen.
Bei dem dritten Link steht etwas, was Du hier auch sehr gut verwenden kannst, wenngleich man den Reihenwert dann nicht mit der Parsevalschen Gleichung erhält, deswegen betrachte es mal als Zusatzüberlegung; weil sich das nicht an die Aufgabenstellung hält, schreibe ich es in Rot:
Betrachte $g(x):=|x|$ auf [mm] $[-\pi,\pi)$ [/mm] mit [mm] $2\,\pi$-periodischer [/mm] Fortsetzung. Entwickle $g$ in ihre Fourierreihe (ich bin mir fast sicher, dass ihr diese Funktion schonmal in der Vorlesung in ihre Fourierreihe entwickelt habt oder dass das mal eine Ü-Aufgabe war; schätze ich jedenfalls; in der Klausur sollte man ggf. nachschlagen, oder dort wird vielleicht ein Tipp gegeben, welche Funktion man betrachten soll) und überlege Dir, warum diese Fourierreihe die Funktion $g$ in jedem Punkt darstellt (vgl. auch hier, unter Darstellungsformen).
Laut Matheplanet gilt damit dann für jedes $x [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm] $$g(x)=|x|=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}*\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos((2n-1)x)}{(2n-1)^2}\,.$$
[/mm]
(Du findest das auch in diesem Skript, Beispiel 28.4.)
Die dort rechtsstehende Reihe sieht ja schon sehr schön aus, nur im Zähler steht [mm] $\cos((2n-1)x)$ [/mm] anstatt einer [mm] $\black{1}$. [/mm] Naja, Du solltest wissen, dass [mm] $\cos(0)=1$ [/mm] gilt, also:
Für $x=0$ gilt damit dann:
[mm] $|x|=0=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}*\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}\,.$
[/mm]
Dein mit Excel "errechneter" (errateter?!) Wert [mm] $\pi^2/8$ [/mm] folgt dann nach einer kleinen Äquivalenzumformung, Du hast also wirklich gut mit Excel gearbeitet 
Das wäre jetzt allerdings ein Weg mithilfe der Fourierreihe...
Und jetzt halten wir uns mal wirklich an die Aufgabenstellung:
Ein möglicher Ansatz wäre es, zu sagen:
Wir suchen eine Funktion [mm] $\black{f}$ [/mm] derart, dass für die Fourierkoeffizienten [mm] $a_n,b_n$ [/mm] von [mm] $\black{f}$ [/mm] gilt:
[mm] $a_n^2+b_n^2=0$ [/mm] für alle geraden $n [mm] \ge [/mm] 2$ und
[mm] $a_n^2+b_n^2=\frac{1}{n^2}$ [/mm] für alle ungeraden [mm] $\black{n}$.
[/mm]
Also muss gelten:
[mm] $a_n=b_n=0$ [/mm] für alle geraden $n [mm] \ge [/mm] 2$
und es "könnte" z.B. gelten (ggf. bis auf konstante Vorfaktoren, die natürlich bei jedem $n$ gleich sein sollten, damit man sie in der Parsevalschen Gleichung rechterhand im Quadrat vor die Reihe ziehen kann)
(I) [mm] $a_n=\frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $b_n=0$ [/mm] für alle ungeraden [mm] $\black{n}$ [/mm]
oder
(II) [mm] $a_n=0$ [/mm] und [mm] $b_n=\frac{1}{n}$ [/mm] für alle ungeraden [mm] $\black{n}$. [/mm]
Man könnte also erst mal nach (I) ansetzen:
[mm] $\frac{\pi}{n}=\int_{-\pi}^{\pi}\,f(t)\cos(nt)\;dt$
[/mm]
Irgendwie hätte ich da schon die Idee, $f(t) [mm] \equiv [/mm] 1$ zu setzen, aber leider passt das nicht so ganz...
Okay, machen wir mal den Ansatz (II):
[mm] $\pi*0=\int_{-\pi}^{\pi}\,f(t)\cos(nt)\;dt$
[/mm]
Mhm, wenn man nun $f(t) [mm] \equiv [/mm] 1$ betrachtet, passt das schonmal.
Die zweite Bedingung bei (II) lautet: Es sollte gelten
[mm] $\frac{\pi}{n}=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\;dt$
[/mm]
Leider brauchen wir da nicht weiter ansetzen, denn die [mm] $b_n$ [/mm] sind alle $=0$, weil $f$ hier eine gerade Funktion ist (vgl. Deinen Wiki-Link).
Und jetzt kommt ein wenig Spielerei, auf die man "vielleicht" mit den vorangegangenen fehlgeschlagenen Überlegungen kommen kann, wenn man gut hinguckt. Eben hatten wir eine konstante Funktion (welche gerade ist) betrachtet, und irgendwie erkennt man dann schon, dass bei der Berechung der Fourierkoeffizienten, wenn man die Stammfunktion bildet, der Faktor [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] ins Spiel kommt. Warum also nicht eine "stückweise konstante ungerade" Funktion mal betrachten? Tun wir das:
Wir setzen $f(0)=0$ und $f(x)=1$, falls $x [mm] \in (0,\pi)$ [/mm] und $f(x)=-1$, falls $x [mm] \in [-\pi,0)$, [/mm] also:
[mm] $f(x):=\begin{cases} -1, &\text{falls }x \in [-\pi,0),\\0, &\text{falls }x =0,\\1, &\text{falls }x \in (0,\pi)\end{cases}$
[/mm]
und denken uns diese Funktion [mm] $2\,\pi$-periodisch [/mm] fortgesetzt.
(Das ist übrigens eine Funktion, für die man oft beispielhaft die Fourierreihe ausrechnet, also man kann durchaus sagen, dass man sich die vorangegangenen Überlegungen evtl. mit einem Blick ins Skript oder in die Ü-Aufgaben vll. ersparen kann.)
Dann ist $f$ eine ungerade Funktion und damit sind alle [mm] $a_n=0$. [/mm] Wir berechnen mal die [mm] $b_n$:
[/mm]
[mm] $\pi b_n=\int_{-\pi}^{\pi}\,f(t)\sin(nt)\;dt=\int_{-\pi}^{0} (-\sin(nt))\;dt+\int_{0}^{\pi} \sin(nt)\;dt=\left[\frac{\cos(nt)}{n}\right]_{-\pi}^0+\left[-\frac{\cos(nt)}{n}\right]_{0}^\pi$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{n}(1-(-1)^n-((-1)^n-1))=\frac{2}{n}*(1-(-1)^n)=\begin{cases}0, &\text{falls }n \text{ gerade}, \\\frac{4}{n}, & \text{falls }n \text{ ungerade}\end{cases}\,.$
[/mm]
Diese Funktion sollte Dir also schon sehr gut geeignet erscheinen, wenn Du darauf mal die Parsevalsche Gleichung
[mm] $$\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(t)|^2\;dt=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n^2+b_n^2) [/mm] $$
anwendest.
(Hier ist ja [mm] $|f(t)|^2=1$, [/mm] alle [mm] $a_n=0$ [/mm] und [mm] $b_n=\begin{cases}\frac{4}{\pi}*\frac{1}{n}, & \text{falls }n \text{ ungerade},\\0, & \text{falls } n \text{ gerade}\end{cases}$.)
[/mm]
(Meinetwegen kannst Du auch
[mm] $f_2(x):=\begin{cases} -\frac{1}{4}, &\text{falls }x \in [-\pi,0),\\0, &\text{falls }x =0,\\\frac{1}{4}, &\text{falls }x \in (0,\pi)\end{cases}$, [/mm]
oder, eine vielleicht noch geeignetere Funktion:
[mm] $f_3(x):=\begin{cases} -\frac{\pi}{4}, &\text{falls }x \in [-\pi,0),\\0, &\text{falls }x =0,\\\frac{\pi}{4}, &\text{falls }x \in (0,\pi)\end{cases}$
[/mm]
(jeweils mit [mm] $2\,\pi$-periodischer [/mm] Fortsetzung)
betrachten.)
Aber wie Du siehst:
Es war kein einfacher Weg bis hierhin, man muss rumrechnen, gucken, rumprobieren und "austesten" und wir sehen jetzt glücklicherweise, dass die Funktion [mm] $\black{f}$ [/mm] uns hier hilft. (Oder auch [mm] $f_2$, $f_3$, [/mm] ... bzw. generell Funktionen dieser Bauart: Auf [mm] $(0,\pi)$ [/mm] konstant und dann ungerade und [mm] $2\,\pi$-periodisch [/mm] fortgesetzt).
Denn wenn man in die Parsevalsche Gleichung guckt, erkennt man ja nur, dass man [mm] $a_n^2+b_n^2=0$ [/mm] für alle geraden $n$ haben sollte und [mm] $a_n^2+b_n^2=\frac{1}{n^2}$ [/mm] für alle ungeraden $n$, damit [mm] $\sum_{n=1}^\infty (a_n^2+b_n^2)$ [/mm] mit [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=\sum_{n=1\text{ und }n \text{ ungerade}}^\infty \frac{1}{n^2}$ [/mm] übereinstimmt. Dafür gibt es aber sehr sehr viele Kombinationsmöglichkeiten. Wir wissen nur, dass [mm] $a_n,b_n$ [/mm] für alle geraden $n [mm] \ge [/mm] 2$ jedenfalls $=0$ sein müssen. Aber rein theoretisch könnte es ja auch sein, dass [mm] $a_3=\frac{1}{3}$ [/mm] und [mm] $b_3=0$, $a_5=\frac{1}{\sqrt{50}}$ [/mm] und [mm] $b_5=-\frac{1}{\sqrt{50}}$ [/mm] etc., also da gibt es wirklich theoretisch einen Haufen von Kombinationsmöglichkeiten.
Meine Idee war es halt, weil bei der Integration von $x [mm] \mapsto \sin(nx)$ [/mm] oder $x [mm] \mapsto \cos(nx)$ [/mm] schon der Faktor [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] ins Spiel kommt, zunächst mal eine konstante Funktion zu betrachten. Damit kommt man leider nicht weiter. Die nächste Idee: Stückweise konstant (auf [mm] $(0,\pi)$) [/mm] und ungerade, damit klappt's dann...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:43 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
es gibt übrigens noch einen weiteren Weg, die vorgegebene Reihe zu berechnen. Dabei macht man zunächst einen Umweg und betrachtet $f(x)=x$ (auf [mm] $[-\pi,\pi)$ [/mm] und dann [mm] $2\,\pi$-periodisch [/mm] fortgesetzt), berechnet für $f$ die Fourierreihe und erhält nach der Parsevalschen Gleichung dann:
[mm] $(\star)$ $\frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$
[/mm]
(Vgl. auch hier.)
Wegen [mm] $(\star)$ [/mm] gilt aber dann auch:
[mm] $\sum_{n=1 \text{ und }n \text{ gerade}}^\infty \frac{1}{n^2}=\;\blue{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}}=\frac{1}{4}*\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\blue{=\frac{\pi^2}{24}}\,.$
[/mm]
Wegen [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\right)-\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}$ [/mm] liefert das blaugedruckte (welches ja auch die Konvergenz der beiden Reihen rechterhand beinhaltet) zusammen mit [mm] $(\star)$:
[/mm]
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi^2}{24}=\frac{\pi^2}{8}$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Di 01.08.2017 | | Autor: | Trikolon |
Hallo, ich möchte gerne noch eine Frage zu dieser Aufgabe stellen (ohne Parselval etc)
Es wurde ja folgende Gleichheit verwendet:
[mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\right)-\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}[/mm]
Mir ist das wenn ich einfach mal Zahlen einsetze und mir das aufschreibe auch völlig klar (bzw. das Argument gerade und ungerade Zahlen etc). Aber kann man diese Gleichheit auch beweise? Denn wenn man die beiden Reihen auf der rechten Seite der Gleichung zusammenfasst erhält man ja [mm] \bruch{3}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}. [/mm] Ich finde es jetzt nicht so offensichtlich dass dies das selbe ist wie die Reihe auf der linken Seite der Gleichung?
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Hallo,
> Hallo, ich möchte gerne noch eine Frage zu dieser Aufgabe
> stellen (ohne Parselval etc)
>
> Es wurde ja folgende Gleichheit verwendet:
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> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\right)-\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}[/mm]
>
> Mir ist das wenn ich einfach mal Zahlen einsetze und mir
> das aufschreibe auch völlig klar (bzw. das Argument gerade
> und ungerade Zahlen etc). Aber kann man diese Gleichheit
> auch beweise?
Das Wort Beweisen wäre hier völlig übertrieben, denn es steht doch alles da: links die Summe über die Quadrate sämtlicher positiver ungerader Zahlen, rechts die Summe über die Quarate aller natürlicher Zahlen minus die Summe über die Quadrate der geraden positiven Zahlen.
Da benötigst du nicht mehr dafür als die Kenntnis, dass sich die natürlcihen zahlen zusammensetzen aus den geraden und den ungeraden Zahlen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Di 01.08.2017 | | Autor: | Trikolon |
Hallo Diophant,
danke für deine Antwort! Genauso habe ich es mir auch erklärt, ist ja auch klar! Trotzdem wäre meine Frage wie man das beweisen könnte, auch wenn es in diesem Fall unnötig wäre, es geht mir ja ums Prinzip. Es könnte sich ja durchaus auch mal um eine komplizierte Reihe drehen, die man möglichweise auf die Reihe über den Kehrwert der Quadratzahlen zurück führen kann...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Di 01.08.2017 | | Autor: | fred97 |
So ganz trivial ist die Gleichung
$ [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\right)-\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2} [/mm] $
nicht, denn rechts wurde die linke Seite gewaltig umgeordnet. Da alle beteiligten Reihen absolut konvergieren darf man das. Man kanns aber auch so sehen:
Sei [mm] s_n:=\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)^2}, u_n:=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} [/mm] und [mm] v_n:=\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k)^2}
[/mm]
Dann ist [mm] s_n= u_n -v_n. [/mm]
Da alles brav konvergiert, folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}s_n= \limes_{n\rightarrow\infty}u_n -\limes_{n\rightarrow\infty}v_n.
[/mm]
Das ist aber nichts anderes als
$ [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\right)-\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2} [/mm] $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Di 01.08.2017 | | Autor: | Trikolon |
> So ganz trivial ist die Gleichung
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\right)-\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}[/mm]
>
> nicht, denn rechts wurde die linke Seite gewaltig
> umgeordnet. Da alle beteiligten Reihen absolut konvergieren
> darf man das.
Könntest du diese Umordnung bitte etwas genauer erläutern?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Di 01.08.2017 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schreib das mal aus:
[mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\ldots
[/mm]
[mm] =\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}-\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\ldots
[/mm]
[mm] =\underbrace{\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldtos}_{\ldots}-\underbrace{\left(\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\ldots\right)}_{\ldots}
[/mm]
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:00 Di 01.08.2017 | | Autor: | Trikolon |
Auch eine gute Idee, danke!
Wenn man jetzt mal
[mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\right)-\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\right). [/mm]
betrachtet, dann finde ich es schon erstaunlich dass die Identität [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\right) [/mm] gilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Di 01.08.2017 | | Autor: | fred97 |
> Auch eine gute Idee, danke!
>
> Wenn man jetzt mal
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\right)-\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}[/mm]
> = [mm]\bruch{3}{4} \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\right).[/mm]
> betrachtet, dann finde ich es schon erstaunlich dass die
> Identität [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{4} \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\right)[/mm]
> gilt.
>
>
Was ist Deine Frage ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Di 01.08.2017 | | Autor: | Trikolon |
Naja, mal angenommen, man bekäme, ohne weitere Hinweise, die Aufgabe vorgelegt: Zeigen Sie die Gültigkeit der Identität
[mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}[/mm] = [mm]\bruch{3}{4} \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\right)[/mm].
Ich wüsste nicht, wie man da vorgehen würde...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Di 01.08.2017 | | Autor: | fred97 |
> Naja, mal angenommen, man bekäme, ohne weitere Hinweise,
> die Aufgabe vorgelegt: Zeigen Sie die Gültigkeit der
> Identität
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}[/mm] = [mm]\bruch{3}{4} \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\right)[/mm].
>
> Ich wüsste nicht, wie man da vorgehen würde...
Na ja, wenn man keinerlei Hinweise hat läuft es auf Eigeninitiative hinaus. Das bedeutet: tüfteln, probieren, auf die Schnauze fallen, weiter probieren, wieder auf die Schnauze fallen, weiter tüfteln..... (so wird Mathematikk gemacht). Vielleicht kommt einem dann die folgende Idee, wenn man über [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} [/mm] im Bilde ist (Konvergenz, Reihenwert,...):
[mm] $\IN [/mm] = G [mm] \cup [/mm] U$, wobei G die Menge der geraden Zahlen und U die Menge der ungeraden Zahlen bedeuten soll. Dann
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\sum_{n \in U}^\infty \frac{1}{n^2}+\sum_{n \in G}^\infty \frac{1}{n^2}$
[/mm]
Das ist erlaubt, weil man absolut konvergente Reihen beliebig umordnen darf.
Nun ist
[mm] \sum_{n \in U}^\infty \frac{1}{n^2}=\sum_{n =1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}
[/mm]
und
[mm] \sum_{n \in G}^\infty \frac{1}{n^2}=\sum_{n =1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}=\sum_{n =1}^\infty \frac{1}{4n^2}= \frac{1}{4}\sum_{n =1}^\infty \frac{1}{n^2}.
[/mm]
Daraus folgt dann
$ [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{3}{4} \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\right) [/mm] $.
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Hallo Fred97 ,
Hast du auch ein Gegenbeispiel dazu? Also wo das Falsche rauskommt wenn man das nicht beachtet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Mi 02.08.2017 | | Autor: | X3nion |
> Hallo Fred97 ,
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> Hast du auch ein Gegenbeispiel dazu? Also wo das Falsche
> rauskommt wenn man das nicht beachtet?
>
>
Hallo derbierbaron,
Betrachte die Reihe S = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{1}{k} [/mm] = 1 - [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{3} [/mm] - [mm] \frac{1}{4} [/mm] + [mm] \frac{1}{5} [/mm] - [mm] \frac{1}{6} [/mm] + [mm] \frac{1}{7} [/mm] - [mm] \frac{1}{8} [/mm] + ... = ln (2)
Es ist [mm] \frac{S}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{4} [/mm] + [mm] \frac{1}{6} [/mm] - [mm] \frac{1}{8}
[/mm]
und S + [mm] \frac{S}{2} [/mm] = 1 + [mm] \frac{1}{3} [/mm] - [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{5} [/mm] + [mm] \frac{1}{7} [/mm] - [mm] \frac{1}{4} [/mm] + [mm] \frac{1}{9} [/mm] + [mm] \frac{1}{11} [/mm] - [mm] \frac{1}{6} [/mm] ...
Die Reihe S + [mm] \frac{S}{2} [/mm] besteht aus den Gliedern der Reihe S, allerdings umgeordnet und der Reihenwert ist eben S + [mm] \frac{S}{2} [/mm] = [mm] \frac{3S}{2} [/mm] = [mm] \frac{3}{2} [/mm] * S = [mm] \frac{3}{2} [/mm] * ln(2).
Es gibt auch den Riemann'schen Umordnungssatz, der besagt, dass bei gegebener bedingt konvergenter Reihe stets eine Umordnung existiert, sodass diese gegen ein S [mm] \in (-\infty, \infty).
[/mm]
Viele Grüße,
X3nion
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Danke für deine ausführliche Antwort.
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