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| Aufgabe | Zu berechnen ist der Reihenwert der folgenden Reihe:
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^2(n+1)^}$ [/mm] |
Ein weiteres Mal "Hallo!",
es geht erneut um das Berechnen eines Reihenwertes.
Ich hoffe dies durch folgende Umformungen erreichen zu können:
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2-n^2+2n+1}{n^2(n+1)^2} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^2 -n^2}{n^2(n+1)^2} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty [/mm] ( [mm] \frac{(n+1)^2}{n^2(n+1)^2} [/mm] - [mm] \frac{n^2}{n^2(n+1)^2}) [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty [/mm] ( [mm] \frac{1}{n^2} [/mm] - [mm] \frac{1}{(n+1)^2})$
[/mm]
[Hier habe ich mir die Reihenglieder angesehen und bin zum Schluss gekommen, dass es sich um eine Teleskopsumme handeln müsste; am Ende bleibt "das erste und das letzte Glied" übrig]
[mm] $\sum_{n=1}^\infty [/mm] ( [mm] \frac{1}{n^2} [/mm] - [mm] \frac{1}{(n+1)^2}) [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty [/mm] ( 1 - [mm] \frac{1}{(n+1)^2})$
[/mm]
Für $n [mm] \to \infty$ [/mm] ergibt sich ein Reihenwert von $1$.
Ich hoffe, das stimmt im Großen und Ganzen. Für jegliche Hinweise, Korrekturen u.ä. bin ich wie immer sehr sehr dankbar :)
Beste Grüße,
K.
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Hallo,
> Zu berechnen ist der Reihenwert der folgenden Reihe:
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> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^2(n+1)^}[/mm]
> Ein weiteres Mal
> "Hallo!",
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> es geht erneut um das Berechnen eines Reihenwertes.
> Ich hoffe dies durch folgende Umformungen erreichen zu
> können:
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2-n^2+2n+1}{n^2(n+1)^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^2 -n^2}{n^2(n+1)^2} = \sum_{n=1}^\infty ( \frac{(n+1)^2}{n^2(n+1)^2} - \frac{n^2}{n^2(n+1)^2}) = \sum_{n=1}^\infty ( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2})[/mm]
>
> [Hier habe ich mir die Reihenglieder angesehen und bin zum
> Schluss gekommen, dass es sich um eine Teleskopsumme
> handeln müsste; am Ende bleibt "das erste und das letzte
> Glied" übrig]
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty ( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}) = \sum_{n=1}^\infty ( 1 - \frac{1}{(n+1)^2})[/mm]
>
> Für [mm]n \to \infty[/mm] ergibt sich ein Reihenwert von [mm]1[/mm].
>
> Ich hoffe, das stimmt im Großen und Ganzen. Für jegliche
> Hinweise, Korrekturen u.ä. bin ich wie immer sehr sehr
> dankbar :)
Es stimmt alles. Den letzten Schritt könnte man so schreiben:
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)=1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n^2*(n+1)}=1 [/mm]
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 Fr 24.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zu berechnen ist der Reihenwert der folgenden Reihe:
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^2(n+1)^}[/mm]
> Ein weiteres Mal
> "Hallo!",
>
> es geht erneut um das Berechnen eines Reihenwertes.
> Ich hoffe dies durch folgende Umformungen erreichen zu
> können:
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2-n^2+2n+1}{n^2(n+1)^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^2 -n^2}{n^2(n+1)^2} = \sum_{n=1}^\infty ( \frac{(n+1)^2}{n^2(n+1)^2} - \frac{n^2}{n^2(n+1)^2}) = \sum_{n=1}^\infty ( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2})[/mm]
>
> [Hier habe ich mir die Reihenglieder angesehen und bin zum
> Schluss gekommen, dass es sich um eine Teleskopsumme
> handeln müsste; am Ende bleibt "das erste und das letzte
> Glied" übrig]
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty ( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}) = \sum_{n=1}^\infty ( 1 - \frac{1}{(n+1)^2})[/mm]
>
> Für [mm]n \to \infty[/mm] ergibt sich ein Reihenwert von [mm]1[/mm].
>
> Ich hoffe, das stimmt im Großen und Ganzen.
Ich muß Diophant widersprechen.
Du schreibst:
[mm]\sum_{n=1}^\infty ( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}) = \sum_{n=1}^\infty ( 1 - \frac{1}{(n+1)^2})[/mm].
Das stimmt natürlich nicht. Richtig ist:
[mm]\sum_{n=1}^\infty ( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}) = \limes_{n\rightarrow\infty} ( 1 - \frac{1}{(n+1)^2})[/mm]
ich würde das ganze so aufschreiben:
Sei [mm] s_n:= \sum_{k=1}^n \frac{2k+1}{k^2(k+1)^2} [/mm]
Dann zeigt man:
[mm] $s_n= [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{(n+1)^2}$.
[/mm]
Da [mm] (s_n) [/mm] gegen 1 konvergiert ist die Reihe $ [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} [/mm] $ konvergent und hat den Reihenwert 1.
FRED
> Für jegliche
> Hinweise, Korrekturen u.ä. bin ich wie immer sehr sehr
> dankbar :)
>
> Beste Grüße,
>
> K.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:09 Fr 24.05.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
> Ich muß Diophant widersprechen.
>
> Du schreibst:
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty ( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}) = \sum_{n=1}^\infty ( 1 - \frac{1}{(n+1)^2})[/mm].
>
> Das stimmt natürlich nicht. Richtig ist:
Au ja, das habe ich übersehen. Danke für die Korrektur!
Gruß, Diophant
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Danke euch beiden für die Korrektur! 
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