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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Herby |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{cos(q\pi n)}{n}
[/mm]
nicht absolut konvergiert, wenn q eine rationale, aber keine natürliche Zahl ist. |
Hi,
ich hab da noch so'n Ding - also ich verstehe ja das mit dem "Konvergenz zeigen" eh nicht so gut - und nun auch noch anders herum - nicht absolut konvergieren.
Was denn sonst? Divergieren? Konvergenz ist ja nicht möglich, oder?
Liebe Grüße
Herby [Dateianhang nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:36 Do 29.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Moin Herby!
Der klassische Fall für den Unterschied von "normaler" Konvergenz und absoluter Konvergenz ist das Beispiel mit folgender Reihe:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n}$
[/mm]
Diese Reihe konvergiert "normal" gemäß Leibniz-Kriterium. Für die absolute Konvergenz müssen wir nun die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right| [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}$ [/mm] betrachten.
Diese als harmonische Reihe bekannte Reihe konvergiert bekanntermaßen nicht. Das Kriterium der absoluten Konvergenz ist also schärfer als die "normale" Konvergenz.
Kommen wir zu Deinem Beispiel ... [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\cos(q*\pi*n)}{n}[/mm]
Der Fall $q \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] ist witzlos (um nicht zu sagen trivial) ein Sonderfall, da wir mit diesen Werten [mm] $q*n*\pi [/mm] \ = \ [mm] k*\pi$ [/mm] (mit $k \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$) [/mm] genau die Nullstellen Extremwerte bzw. deren Funktionswerte der [mm] $\cos(...)$-Funktion [/mm] abdecken, welche sich mit [mm] $\blue{+1}$ [/mm] und [mm] $\blue{-1}$ [/mm] ständig abwechseln.
Damit verbleibt für $q \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] :
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\cos(q*\pi*n)}{n} \ = \ \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\red{(-1)^n}}{n}[/mm] [mm] $\blue{\Rightarrow}$ $\blue{\text{konvergent nach Leibniz (siehe oben)}}$
[/mm]
(Je nach [mm] $\blue{q}$ [/mm] kann der Zähler auch [mm] $\blue{(-1)^{n+1}}$ [/mm] lauten, was aber keinen Unterschied macht.)
Für $q \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IQ\backslash\IN$ [/mm] wechselt der Funktionswert der [mm] $\cos(...)$-Funktion [/mm] ebenfalls ständig das Vorzeichen (am besten mal an Kurvenverlauf klar machen). Damit handelt es sich also um eine alternierende sowie monoton fallende Folge, da zudem gilt [mm] $\left| \ \cos(q*\pi*n) \ \right| [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$ .
Gemäß Herrn Leibniz konvergiert diese Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\cos(q*\pi*n)}{n}[/mm] also "normal" für $q \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IQ\backslash\IN$ [/mm] .
Nun betrachten wir die absolute Konvergenz, d.h. wir nehmen den Betrag dieser Folge [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\cos(q*\pi*n)}{n}$ [/mm] . Damit entfällt nun der Punkt mit alternierend (sprich: wechselndem Vorzeichen).
Für [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\left|\bruch{\cos(q*\pi*n)}{n}\right| \ = \ \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\left|\cos(q*\pi*n)\right|}{n}[/mm] ist nun z.B. über Abschätzung die "geforderte" Divergenz nachzuweisen (Minorantenkriterium) ...
Gruß
Loddar
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Guten Morgen Loddar,
So Leid es mir tut:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\cos(q\cdot{}\pi\cdot{}n)}{n} =\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n} \ne \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\red{0}}{n},\mbox{ für } q\in\color{blue}\{1,5,9,\ \ldots\} [/mm] $
, weil [mm] $\cos \pi [/mm] = -1$
Gruß Karthagoras
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:59 Do 29.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Karthagoras!
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Schön, wenn man sich eine Grafik ansieht, wo [mm] $\cos(x)$ [/mm] und [mm] $\sin(x)$ [/mm] drin abgebildet sind und sie die "passende Nullstellen" aussucht ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:56 Do 29.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Herby!
Auf Anmerkung meines heutigen kritischen Beobachters  sei der Vollständigkeit halber noch folgendes erwähnt:
Für [mm] $\text{gerade} [/mm] \ [mm] q\in\IN$ [/mm] erhalten wir hier auch die harmonische Reihe [mm] $\summe\bruch{1}{n}$ [/mm] , die bekanntermaßen divergiert.
Damit ist dann auch selbstverständlich absolute Konvergenz hinfällig.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]")
> Für [mm]q \ \in \ \IQ\backslash\IN[/mm] wechselt der Funktionswert
> der [mm]\cos(...)[/mm]-Funktion ebenfalls ständig das Vorzeichen (am
> besten mal an Kurvenverlauf klar machen). Damit handelt es
> sich also um eine alternierende sowie monoton fallende
> Folge, da zudem gilt [mm]\left| \ \cos(q*\pi*n) \ \right| \ \le \ 1[/mm]
Was ist mit [mm] q=10^{-6} [/mm] für das wechselnde Vorzeichen? und [mm] q=\bruch{1}{2} [/mm] fürs monoton fallende?
Das mit dem Abschätzen sollte aber funktionieren.
viele Grüße
mathemduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 Do 29.06.2006 | | Autor: | Loddar |
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Ich glaube, ich lass das heute mit der Mathematik bleiben (zumindest die Reihen) ...
Frustierte Grüße
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Do 29.06.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo ihr Lieben 
ich möchte euch ja nur ungern enttäuschen, aber ich bin immer noch nicht weiter ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
Die Argumente für eine normale, absolute und bedingte Konvergenz sind mir geläufig. Ich habe schon mindestens, wenn nicht noch mehr Aufgaben hier im Forum mitgerechnet (wenn ich auch nicht, aufgrund meiner Langsamkeit, zum Posten kam, weil es gewisse Leute gibt, die weniger als 34 s brauchen um zu Antworten ![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]") ), aber hier....
also wir haben im Zähler ein [mm] cos(qn\pi) [/mm] mit [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] q\in\IQ [/mm] und im Nenner einen mitlaufenden Index n.
Für den Zähler kann ich schon mal nix Alternierendes feststellen, denn das Vorzeichen wechselt zwar, jedoch nicht nach jedem Glied. Außerdem bewegt sich der Wert immer zwischen 0 und 1 (für den Betrag) hin und her.
In die Knie gezwungen wird das ganze durch den Nenner, so dass die Reihenglieder sich dem Wert Null nähern.
Kann ich denn hier überhaupt ein Konvergenzkriterium anwenden?
Minorantenkriterium mit der harmonischen Reihe vielleicht, aber wie geht das mit der Abschätzung.
Dass die vorgegebene Reihe [mm] \le [/mm] der harmonischen ist, ist offensichtlich - nur halt nicht echt kleiner und ich weiß nicht, wie ich sie kleiner bekomme.
Oder ist die Richtung völlig falsch ![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]")
Liebe Grüße
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Fr 30.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Herby
setz dein q=m/k m,k [mm] \in [/mm] N
1. die harmonisch Reihe divergiert auch noch, wenn man jedes k-te Glied weglässt k>1
2. [mm] \epsilon [/mm] *harm. Reihe divergiert auch für jedes [mm] \epsilon>0
[/mm]
Die beiden zusammengenommen bilden deine Minorante!
3. deinen |cos| ist für alle n nicht Vielfache von k ungleich 0.Du kannst das sogar in Abhängigkeit von k abschätzen, je nach k wird das klein, aber immer echt >0 das reicht vielleicht auch! das ist dann mein [mm] \epsilon [/mm] (oder deins)
Gruss leduart
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Hallo leduart,
> setz dein q=m/k m,k [mm]\in[/mm] N
> 1. die harmonisch Reihe divergiert auch noch, wenn man
> jedes k-te Glied weglässt k>1
> 2. [mm]\epsilon[/mm] *harm. Reihe divergiert auch für jedes
> [mm]\epsilon>0[/mm]
> Die beiden zusammengenommen bilden deine Minorante!
> 3. deinen |cos| ist für alle n nicht Vielfache von k
> ungleich 0.
Hier bist Du, genauso wie Loddar vorher, der Aufgabenstellung auf den Leim gegangen. Der Betrag des cos ist gerade 1 wenn n Vielfaches von k ist. Was den Zusatz in der Aufgabenstellung(q nicht ganzzahlig) natürlich überflüssig macht.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Sa 01.07.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Leduart,
meinst du das so?
[mm] \varepsilon*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \varepsilon [/mm] ist doch mit [mm] q\in\IQ\setminus\IN [/mm] und mit dem Betrag immer echt größer Null und echt kleiner 1.
Damit verliefe die Reihe stets unterhalb der Reihe mit [mm] \bruch{1}{n} [/mm] - deutet sowas nicht eher auf Konvergenz hin?
Danke schön für deine Hilfe (gilt auch für mathemaduenn für seinen Artikel)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Liebe Grüße
Herby [Dateianhang nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 So 02.07.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Herby
Ich hatte doch grade geschrieben, dass man [mm] \infty [/mm] auch mit [mm] 10^{-2006} [/mm] oder [mm] \epsilon [/mm] multiplizieren kann und es [mm] \infty [/mm] bleibt. Eine Reihe die echt divergiert kriegt man mit nem kleinen Faktor nicht klein!!!
Wie liest du eigentlich die posts?
Die Nullen, da hat matheduenn recht, kriegt man nur wo ungerade Vielfache von [mm] \pi/2 [/mm] vorkommen, aber das ist ja genauso möglich, je nach q wie ganze Vielfache!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:38 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Leduart,
ja ja schimpf nur mit mir... die letzte Frage war schon recht überflüssig
Liebe Grüße
Herby [Dateianhang nicht öffentlich]
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