Reihenkovergenz Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien die Reihen [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{\infty} b_{k}. [/mm] Weiter gilt [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} [/mm] <= [mm] \bruch{b_{k+1}}{b_{k}} [/mm] für alle k >= N [mm] \in \IN.
[/mm]
Zeige, dass folgende Implikation gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} b_{k} [/mm] konvergent [mm] \Rightarrow \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] konvergent |
Guten Abend,
ich bräuchte bei dieser Aufgabe einen "Starttipp".
Die Aufgabe sieht zwar sehr nach Quotientenkriterium aus, allerdings ist dieses ja nur hinreichend und nicht notwendig für die Konvergenz einer Reihe. Deshalb stehe ich ein bisschen auf dem Schlauch - ich weiß nicht so recht etwas mit dem Quotienten anzufangen. Ich würde vermuten, dass bk Majorante zu ak ist, aber das kann man ja so aus dem Quotient nicht lesen, oder?
Viele Grüße und dankeschön und einen schönen Abend weiterhin!
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Hiho,
> Gegeben seien die Reihen [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm] ak und
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm] bk. Weiter gilt [mm]\bruch{ak+1}{ak}[/mm] <=
> [mm]\bruch{bk+1}{bk}[/mm] für alle k >= N [mm]\in \IN.[/mm]
Durch deine Formatierung ist die Aufgabenstellung absolut nicht klar.
Soll nun [mm]\bruch{a_k+1}{a_k} \le \bruch{b_k+1}{b_k}[/mm] oder [mm]\bruch{a_{k+1}}{a_k} \le \bruch{b_{k+1}}{b_k}[/mm] gelten. Korrigiere das bitte und nutze zukünftig den Formeleditor für eine eindeutige Darstellung.
Gruß,
Gono
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Hi,
tut mir leid, Du hast natürlich vollkommen recht. Ich habe es korrigiert.
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Sollen die Reihen nichtnegative Glieder haben? Es ist $ [mm] a_k\le \dfrac {b_k}{b_{k-1}}*a_{k-1} \le\dots [/mm] $. Benutze das Majorantenkriterium.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Mi 05.08.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Uni,
> Sollen die Reihen nichtnegative Glieder haben? Es ist
> [mm]a_k\le \dfrac {b_k}{b_{k-1}}*a_{k-1} \le\dots [/mm]. Benutze das
> Majorantenkriterium.
die Abschätzung ist klar, aber mich würde interessieren, wie du damit das Majorantenkriterium nutzen willst.
Es gilt zwar (unter der Annahme der Nichtnegativität) sicher [mm] $\frac{b_k}{b_{k-1}}\in(0,\infty)$, [/mm] aber ich sehe insbesondere nichts, was dagegen spräche, dass [mm] $\frac{b_k}{b_{k-1}}$ [/mm] immer mal wieder über alle Grenzen wächst.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Mi 05.08.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Uni,
>
> > Sollen die Reihen nichtnegative Glieder haben? Es ist
> > [mm]a_k\le \dfrac {b_k}{b_{k-1}}*a_{k-1} \le\dots [/mm]. Benutze das
> > Majorantenkriterium.
>
> die Abschätzung ist klar, aber mich würde interessieren,
> wie du damit das Majorantenkriterium nutzen willst.
> Es gilt zwar (unter der Annahme der Nichtnegativität)
> sicher [mm]\frac{b_k}{b_{k-1}}\in(0,\infty)[/mm], aber ich sehe
> insbesondere nichts, was dagegen spräche, dass
> [mm]\frac{b_k}{b_{k-1}}[/mm] immer mal wieder über alle Grenzen
> wächst.
>
> Gruß,
> Gono
Wir können $ [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} \le \bruch{b_{k+1}}{b_{k}}$ [/mm] für alle k [mm] \ge [/mm] 1 annehmen. Da alle [mm] a_k [/mm] und alle [mm] b_k [/mm] positiv sind, zeigt man induktiv:
[mm] a_k \le b_k* \bruch{a_1}{b_1} [/mm] für alle k.
FRED
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Hallo Gono & Fred,
Genau darauf wollte ich mit den Pünktchen hinaus.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Do 06.08.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:33 Do 06.08.2015 | | Autor: | fred97 |
Die Aussage obiger Aufgabe könnte man "Verallgemeinertes Quotientenkriterium" nennen. Also:
A: Verallgemeinertes Quotientenkriterium:
Sind [mm] (a_k) [/mm] und [mm] (b_k) [/mm] Folgen in $(0, [mm] \infty)$ [/mm] und gilt
$ [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} \le \bruch{b_{k+1}}{b_{k}} [/mm] $ für fast alle $k$,
so folgt aus der Konvergenz von $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} b_{k} [/mm] $ die Konvergenz von $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] $.
Aus A folgt dann
B: Quotientenkriterium:
Ist [mm] (a_k) [/mm] eine Folge in $(0, [mm] \infty)$ [/mm] und gilt mit einem $q [mm] \in [/mm] [0,1)$:
$ [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} \le [/mm] q $ für fast alle $k$,
so ist $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] $ konvergent.
Beweis: in A setze man [mm] $b_k:=q^k$ [/mm] ($k [mm] \in \IN$). [/mm] $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} b_{k} [/mm] $ ist bekanntlich konvergent.
FRED
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