Reihenkonvergenz <-> Nullfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe eine Frage zum Beweis, des Satzes der aussagt, dass wenn die Reihe[a(n)] konvergiert, dann ist a(n) eine Nullfolge. Der Beweis ist im Prinzip nicht schwer und ich skizziere ihn hier mal kurz:
Sei s(n) die n-te Partialsumme der Reihe[a(n)].
Definiere a(n):=s(n)-s(n-1)
Der Limes der beiden Partialsummen ist identisch,
somit ist die Differenz der Limiten gleich 0. q.e.d.
So jetzt meine Frage (die etwas trivial erscheinen mag)
1) Warum schränkt die Definition a(n):=s(n)-s(n-1) die allgemeingültige Aussage des Satzes nicht ein.
Streng genommen habe wir doch nur gezeigt, dass Reihe[s(n)-s(n-1)] eine Nullfolge "im innern hat".
2) Wie erkennt man generell, dass man eine Aussage in der und der Form schreiben kann und dass das dann nicht die Allgemeingültigkeit einschränkt? Man sieht solche Definitionen wie "Wähle ... := ...." nämlich ziemlich oft.
Wie kann ich testen (mathematisch!) , dass so eine "Wahl" die Allgemeingültigkeit meiner mathematischen Aussage nicht einschränkt.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen und ich freue mich auf Antworten. Den mathematischen Textsatz hab ich jetzt nicht benutzt, aber ich denke man sieht beim Beweis unmittelbar war gemeint ist...soviele mathematische Symbole sind ja nicht vorhanden. Ich bitte um Nachsicht ;)
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Di 30.12.2008 | | Autor: | zetamy |
> ich habe eine Frage zum Beweis, des Satzes der aussagt,
> dass wenn die Reihe[a(n)] konvergiert, dann ist a(n) eine
> Nullfolge. Der Beweis ist im Prinzip nicht schwer und ich
> skizziere ihn hier mal kurz:
> Sei s(n) die n-te Partialsumme der Reihe[a(n)].
> Definiere a(n):=s(n)-s(n-1)
> Der Limes der beiden Partialsummen ist identisch,
> somit ist die Differenz der Limiten gleich 0. q.e.d.
>
> So jetzt meine Frage (die etwas trivial erscheinen mag)
> 1) Warum schränkt die Definition a(n):=s(n)-s(n-1) die
> allgemeingültige Aussage des Satzes nicht ein.
> Streng genommen habe wir doch nur gezeigt, dass
> Reihe[s(n)-s(n-1)] eine Nullfolge "im innern hat".
Hallo,
hier wird keine Einschränkung vorgenommen, denn [mm] $S_n=\sum_{k=1}^n a_k [/mm] = [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_n$ [/mm] und somit gilt [mm] $S_n [/mm] - [mm] S_{n-1} [/mm] = [mm] (a_1+ \dots [/mm] + [mm] a_{n-1} [/mm] + [mm] a_n) [/mm] - [mm] (a_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_{n-1}) [/mm] = [mm] a_n$ [/mm] für jede Reihe. Der Ausdruck "definiere [mm] $a_n\dots$" [/mm] ist vielleicht ein bisschen unglücklich gewählt. Man gewöhnt sich dran  .
> 2) Wie erkennt man generell, dass man eine Aussage in der
> und der Form schreiben kann und dass das dann nicht die
> Allgemeingültigkeit einschränkt? Man sieht solche
> Definitionen wie "Wähle ... := ...." nämlich ziemlich oft.
> Wie kann ich testen (mathematisch!) , dass so eine "Wahl"
> die Allgemeingültigkeit meiner mathematischen Aussage nicht
> einschränkt.
Allgemein kann man das nicht sagen. In den Vorlesungen wird oft gesagt "ohne Einschränkung" oder "oBdA" - das stimmt auch meistens - aber eigentlich muss das auch zeigen (bzw. argumentieren). Wie man sowas sieht... dazu gehört "ein wenig" mathematische Intuition. Entweder die hat man, dann ist man begabt, oder aber man lernt sie (was nur bis zu einem gewissen Grad funktioniert, aber fürs Studium idR ausreicht).
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> Ich hoffe ihr könnt mir helfen und ich freue mich auf
> Antworten. Den mathematischen Textsatz hab ich jetzt nicht
> benutzt, aber ich denke man sieht beim Beweis unmittelbar
> war gemeint ist...soviele mathematische Symbole sind ja
> nicht vorhanden. Ich bitte um Nachsicht ;)
Dir sei verziehn
Gruß. zetamy
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hä---ich weiß nicht ob ich jetzt total dumm bin...aber..
schaut euch mal diesen beweis für die divergenz der harmonischen reihe an...intuitiv ist er natürlich einsichtig...aber wie beweist man die letzte Ungleichung
bzw. dass der letzte Term > 1/2 ist (also der Term mit den N's) ... kann mir da jemand einen Fingerzeig geben?
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Di 30.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo dre1ecksungleichung!
Ich weiß jetzt nicht, welche Version des Beweises Du vorliegen hast (bei mir bzw. eher in Herr Forster's "Analysis 1") kommt im letzten Term kein $N_$ vor.
Aber diesen Nachweis könnte man z.B. mittels  vollständiger Induktion führen.
Gruß
Loddar
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Das war auch einer meiner ersten Gedanken, aber der Induktionsschritt von n auf n+1 ist glaub ziemlich happig, da links ja eine Summe steht und die zu induzierende Variable ist zu allem Übel noch im Exponenten.
Hat jemand eine gute Idee?
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Hi,
meinst du den Beweis:
[mm] s_{2n}-s_n=\summe_{i=1}^{2n} \frac{1}{i} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{n} \frac{1}{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=n+1}^{2n} \frac{1}{i} [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\ge\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}
[/mm]
Die Summe mit den "..." besteht aus n-Summanden und der letzte ist der kleinste, darum schätzt man ab, indem man einfach n mal diesen aufsummiert.
Oder was genau verstehst du nicht?
Gruß Patrick
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ja ich verstehe nicht warum die einzelnen summanden kleiner als 1/2 sind und das möchte ich gerne beweisen für den allgemeinen fall also quasi für den "letzten term"
vgl. dazu forster harmonische reihe
cu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Di 30.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es geht darum, dass eine Summe aus n Summanden, die alle kleiner oder gleich einem der Summanden ist kleiner als n mal der kleinste Summand ist. also z. Bsp
1/2*1/3*1/4<3*1/4
jetzt hast du
$ [mm] \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\ge\frac{n}{2n}=\frac{1}{2} [/mm] $
dabei ist klar, dass [mm] \frac{1}{n+1}>\frac{1}{n+2}>...>\frac{1}{n+n}ist [/mm] unabhängig davon ob n=17 oder [mm] 10^{17} [/mm] ist.
und dass [mm] n*\frac{1}{2n}=\frac{1}{2} [/mm] ist ist ja wohl klar.
Jetzt müsstest du ganz klar sagen, was dabei für dich ungeklärt bleibt! Einen "letzten" Term gibt es nicht, die menge der Summanden wird zwar immer größer, aber wenn man eben immer genug nimmt erreicht man immer wieder 1/2.
Gruss leduart
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Hey...
also ich hab da nochmal eine Frage zum Beweis er Konvergenz von [mm] 1/n^s [/mm] für s>1.
Unzwar schreibt Forster ja folgendes:
Zu jedem beliebigen n natürlich kann man ein m natürlich wählen, sodass n <= [2^(m+1)]-1
Okay schön und gut...der Beweis ist danach nicht mehr so wirklich schwer und ziemlich analog zum Beweis von 1/n-Konvergenz aber warum kann ich m so wählen und warum darf ich es dann einfach so in die Formel einsetzen?
Kann mir jemand an diesem Beweis erklären warum durch eine solche Wahl von n die Allgemeingültigkeit der Aussage des Satzes nicht eingeschränkt wird...das wäre cool...
cu - freue mich auf antworten ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Fr 02.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Frage ist schwer zu verstehen. Zu welchem n soll man denn kein solches m finden? [2^(m+1)]-1 ist doch ne natürliche Zahl , also gibts natürlich auch ne kleinere, und ne grössere . umgekehrt, wenn du dir irgend ein n ausdenkst kannst du doch ein m dazu finden. Also musst du genauer sagen, was du nicht verstehst.
Gruss leduart
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ja schon...aber woher weiß ich, dass ich wirklich jede natürliche Zahl durch diesen Term darstellen kann und woher weiß ich ob diese Darstellung eindeutig ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Fr 02.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) warum soll sie eindeutig sein.
b) du sagst ja nur, dass es ein kleineres n gibt, nicht dass es gleich ist.
wenn ich sage: zu jedem n gibt es ein m mit n<2m dann stimmt das doch auch. Zu n=3 wäre dann ein mögliches m m=2 aber auch m=100
Gruss leduart
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ja okay...
welche eigenschaften muss eigentlich ein mathematischer operator z.B. Limes, erfüllen, damit man ihn auf beide Seiten einer Ungleichung/Gleichung anwenden kann ohne dass sich die Gleichung ändert....muss er bilinear sein...oder wie man das nennt...???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 So 04.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich würde lim keinen math. Operator nennen.
und du kannst ja nicht schreiben [mm] a_n
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n
also musst du begründen! und mit bilinear hat das gar nichts zu tun.
Du müsstest scon sagen welche "Operatoren du meinst.
und etwa bei [mm] a_n=b_n [/mm] daraus [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}b_n [/mm] fehlt, dass die Gleichung für alle n richtig sein muss .
Ausserdem passt die Frage nicht in den thread
Gruss leduart
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