Reihenkonvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Sa 03.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
| Aufgabe | | Für welche $x [mm] \in \IR$ [/mm] konvergiert: $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \cdot \bruch{(x-2)^n}{2n}$ [/mm] |
Hallo!
Ich poste mal meinen Rechenweg.
Nach Leibnitz ist eine alternierende Reihe $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n$ [/mm] konvergent, wenn [mm] a_n [/mm] eine monotone Nullfolge ist.
Sei also zunächst: [mm] $a_n:= \bruch{(x-2)^n}{2n}$
[/mm]
1. Liegt eine Nullfolge vor?
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(x-2)^n}{2n}=0 [/mm]
Das wäre der Fall für $|x-2| [mm] \red{\le}1 [/mm] $
Ich bin mir aber nicht sicher ob es [mm] \le [/mm] oder < lauten muss? Ich habs mal mit
[mm] "\le" [/mm] gemacht, da für gleich 1 bzw. drei ja eine 1 im Zähler steht.
$|x-2| [mm] \red{\le}1 [/mm] $ [mm] $\Rightarrow [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] [1;3]$
Hier bin ich mir deswegen auch nicht ganz sicher, wie die Grenzen des Intervalls zu
setzen sind. (Also ob ]...] oder [...] zu verwenden ist, was aus der Tatsache resultiert, dass ich mir beim Ungleichheitszeichen unsicher bin)
Nun zur Monotonie, unter der Annahme, dass $x [mm] \in \IR [/mm] [1;3]$
Annahme: monoton fallend
[mm] \red{---------------------------------------------}
[/mm]
[mm] \red{EDIT mit Leduarts Hinweis Zur Fallunterscheidung}
[/mm]
Sei $x-2 > 0$ [mm] $\Rightarrow 2\le [/mm] x [mm] \le3 [/mm] $
[mm] a_{n+1} \le a_n
[/mm]
[mm] \bruch{(x-2)^{n+1}}{2n+2} \le \bruch{(x-2)^{n}}{2n}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(x-2)^{n} \cdot (x-2)}{(x-2)^n} \le \bruch{2 \cdot (n+1)}{2n}
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] x [mm] \le 3+\bruch{1}{n}$ [/mm] Das stimmt, da [mm] $2\le [/mm] x [mm] \le3 [/mm] $
Sei nun $x-2 < 0$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ 1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2$
[mm] \bruch{(x-2)^{n+1}}{2n+2} \le \bruch{(x-2)^{n}}{2n}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(x-2)^{n} \cdot (x-2)}{(x-2)^n} \red{\ge} \bruch{2 \cdot (n+1)}{2n}
[/mm]
Da $(x-2)<0$ dreht sich das Vorzeichen nun wieder.
[mm] $\gdw [/mm] x [mm] \le 3+\bruch{1}{n}$ [/mm] Das stimmt, da $1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2$
[mm] \red{-------------------------------------------------}
[/mm]
Nun meine Fragen:
1. Ist meine Vorgehensweise korrekt?
2. Wie sind die oben rot markierten Ungleichheitszeichen zu wählen?
"echt kleiner" oder "kleiner gleich") und die daraus resultierenden Intervallgrenzen
für x?
3. Ich habe gehört, dass man die Aufgabe auch mit dem Wurzelkriterium lösen könnte. Ich versteh leider nur nicht, wie ich da anfangen sollte, da es sich um eine alternierende Reihe handelt. Muss man dann etwa eine Fallunterscheidung machen für n=2n und n=2n+1? Oder kann man die [mm] (-1)^n [/mm] einfach mit unter die Wurzel ziehen und ausnutzen, dass der Betrag immer positiv ist?
Ich meine das so:
[mm] $\wurzel[n]{|(-1)^n \cdot \bruch{(x-2)^n}{2n}|}=\wurzel[n]{| \bruch{(x-2)^n}{2n}|}$
[/mm]
Es wäre toll, wenn jemand speziell zu meiner dritten Frage etwas mehr erklären könnte.
Ist es denn dann im allgemeinen so, dass man alternierende Reihen auch mit anderen Konvergenzkriterien (Wurzel, Quoti) untersuchen kann? Wenn ja, wie?
Gruß und danke wiedermal für euere Mühe
Hans
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Sa 03.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nur zum ersten teil:
wenn x-2<0 dann ist das keine alternierende Reihe mehr.
auch bei deinem Monotoniebeweis multiplizierst du deine Ungleichung mit x-2 ohne Rücksicht auf das Vorzeichen.
Für |x-2|<1 hast du auch ohne n im nenner schon eine geometrische Reihe, zeihe das [mm] (-1)^n [/mm] in die Klammer, dann sind deine Summanden einfach [mm] (2-x)^n/2n
[/mm]
jetzt kannst du direkt sehen, was für 2-x=1 und 2-x=-1 passiert.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Sa 03.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
> Hallo
> nur zum ersten teil:
> wenn x-2<0 dann ist das keine alternierende Reihe mehr.
> auch bei deinem Monotoniebeweis multiplizierst du deine
> Ungleichung mit x-2 ohne Rücksicht auf das Vorzeichen.
Ich habe aber doch [mm] |x-2|<\red{1} [/mm] geschrieben. (Sonst greift doch das Wurzelkriterium nicht).
Ich habe versucht deine Anmerkung zum Monotoniebeweis umzusetzen, indem ich nun eine Fallunterscheidung gemacht habe. (Habs in meiner Frage editiert)
> Für |x-2|<1 hast du auch ohne n im nenner schon eine
> geometrische Reihe, zeihe das [mm](-1)^n[/mm] in die Klammer, dann
> sind deine Summanden einfach [mm](2-x)^n/2n[/mm]
> jetzt kannst du direkt sehen, was für 2-x=1 und 2-x=-1
> passiert.
Den Tipp finde ich sehr gut und werde ihn mir auf jeden Fall merken.
Danke schonmal für deine Hilfe.
Gruß Hans
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Sa 03.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
da für x-2<0 [mm] (x-2)^n [/mm] und [mm] (x-2)^{n+1} [/mm] verschidene vorzeichen haben ist dein Monotoniebeweis falsch.
für x-2>0 ist er richtig, mit dem Wurzelkrierium findest du, für welche x die Reihe absolut konvergiert.
es bleiben die Randpunkte zu zeigen.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Sa 03.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Hallo Leduart,
> Hallo
> da für x-2<0 [mm](x-2)^n[/mm] und [mm](x-2)^{n+1}[/mm] verschidene
> vorzeichen haben ist dein Monotoniebeweis falsch.
Das habe ich mir auch überlegt. Ich dachte mir, dass für die Vorrausetzung $x-2<0$ der Term [mm] (x-2)^{n+1} [/mm] nie kleiner Null wird. Zieht man es allerdings auseinander, entsteht ja [mm] $(x-2)^n \cdot [/mm] (x-2)$.
Die [mm] $(x-2)^n$ [/mm] kürzen sich dann bei der Äquivalenzumformung samt vorzeichen heraus und es bleibt nur noch (x-2) (ohne "hoch n"). Das ist ja nach Vorraussetzung negativ. Deshalb bin ich so vorgegangen. Was meinst du dazu?
> für x-2>0 ist er richtig, mit dem Wurzelkrierium findest
> du, für welche x die Reihe absolut konvergiert.
> es bleiben die Randpunkte zu zeigen.
Ok.
Für x=1 geht die Reihe in die Harmonische Reihe über. Das heißt ich darf die 1 nicht in mein Intervall mit hinein nehmen.
Für x=3 erhalte ich:xt $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \cdot \bruch{\overbrace{(1)^n}^1}{2n} [/mm] =ln(2)$ (Aus Formelsammlung ;) )
Deshalb muss mein Intervall also $x [mm] \in \IR [/mm] ]1;3]$ sein?
Gruß Hans
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Hallo Hans,
> Das habe ich mir auch überlegt. Ich dachte mir, dass für
> die Vorrausetzung [mm]x-2<0[/mm] der Term [mm](x-2)^{n+1}[/mm] nie kleiner
> Null wird. Zieht man es allerdings auseinander, entsteht ja
> [mm](x-2)^n \cdot (x-2)[/mm].
> Die [mm](x-2)^n[/mm] kürzen sich dann bei der
> Äquivalenzumformung samt vorzeichen heraus und es bleibt
> nur noch (x-2) (ohne "hoch n"). Das ist ja nach
> Vorraussetzung negativ. Deshalb bin ich so vorgegangen. Was
> meinst du dazu?
Das ist dann nach Voraussetzung negativ, das stimmt erstmal, aber löst dein Problem nicht 
Das Problem ist doch, dass wenn $(x-2) < 0$ gilt, dass dann [mm] $(x-2)^n$ [/mm] ein alternierendes Vorzeichen hat, welches du auch durch ausklammern nicht wegbekommst.
Denn dieses alternierende Vorzeichen hebt sich mit dem [mm] $(-1)^n$ [/mm] zum immer selben Vorzeichen auf und dann dein argument der alternierenden Reihe nicht mehr funktioniert (da das Vorzeichen dann eben nicht mehr alterniert).
> Für x=1 geht die Reihe in die Harmonische Reihe über. Das
> heißt ich darf die 1 nicht in mein Intervall mit hinein
> nehmen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für x=3 erhalte ich:xt [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \cdot \bruch{\overbrace{(1)^n}^1}{2n} =ln(2)[/mm]
> (Aus Formelsammlung ;) )
Den genauen Wert brauchst eigentlich nicht, eine Aussage über die Konvergenz liefert dir (hier brauchbar ) das Leibnitz-Kriterium.
> Deshalb muss mein Intervall also [mm]x \in \IR ]1;3][/mm] sein?
ohne [mm] \IR, [/mm] aber sonst ok
MFG;
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 So 04.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Danke für die Hilfe.
Gruß hans
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Sa 03.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für welche [mm]x \in \IR[/mm] konvergiert:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \cdot \bruch{(x-2)^n}{2n}[/mm]
>
> Hallo!
>
> Ich poste mal meinen Rechenweg.
>
> Nach Leibnitz ist eine alternierende Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] konvergent, wenn [mm]a_n[/mm] eine monotone
> Nullfolge ist.
>
> Sei also zunächst: [mm]a_n:= \bruch{(x-2)^n}{2n}[/mm]
>
> 1. Liegt eine Nullfolge vor?
>
> [mm]$\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0[/mm]
>
> [mm]$\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(x-2)^n}{2n}=0[/mm]
>
> Das wäre der Fall für [mm]|x-2| \red{\le}1[/mm]
>
> Hier (rot) bin ich mir nicht sicher, ob es [mm]"\le"[/mm] oder [mm]"\ge"[/mm]
> lauten muss?
dann denke mal drüber nach: Konvergiert die Folge [mm] $(|q|^n/n)_{n \in \IN}$ [/mm] gegen [mm] $0\,$ [/mm] für $|q| [mm] \le 1\,,$ [/mm] oder für $|q| > 1$?
> Ich habs mal mit
>
> [mm]"\le"[/mm] gemacht,
Sinnvollerweise!
> da für gleich 1 bzw. drei ja eine 1 im
> Zähler steht.
Komische Begründung!
> [mm]|x-2| \red{\le}1[/mm] [mm]\Rightarrow x \in \IR [1;3][/mm]
Besser: $|x-2| [mm] \le [/mm] 1 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [1,3]\,.$ [/mm] Wichtiger hierbei ist doch [mm] $\Leftarrow$!
[/mm]
Übrigens:
Wegen [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ ist (relativ schnell) klar, dass [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \cdot \bruch{(x-2)^n}{2n}$ [/mm] für $|x-2| < 1$ konvergiert...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Sa 03.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Hallo Marcel!
Danke erst mal für deine Antwort.
> dann denke mal drüber nach: Konvergiert die Folge
> [mm](|q|^n/n)_{n \in \IN}[/mm] gegen [mm]0\,[/mm] für [mm]|q| \le 1\,,[/mm] oder für
> [mm]|q| > 1[/mm]?
Sorry, anstatt [mm] \le [/mm] und [mm] \ge [/mm] wollte ich eigentlich [mm] \le [/mm] und < schreiben.
Bin mir also nicht sicher, ob ich [mm] \le [/mm] oder < verwenden muss.
>
> > [mm]|x-2| \red{\le}1[/mm] [mm]\Rightarrow x \in \IR [1;3][/mm]
>
> Besser: [mm]|x-2| \le 1 \gdw x \in [1,3]\,.[/mm] Wichtiger hierbei
> ist doch [mm]\Leftarrow[/mm]!
Ok.
> Übrigens:
> Wegen [mm]\sqrt[n]{n} \to 1[/mm] ist (relativ schnell) klar, dass
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \cdot \bruch{(x-2)^n}{2n}[/mm] für
> [mm]|x-2| < 1[/mm] konvergiert...
Da spielst du auf das Wurzelkriterium an. In meinem ersten Post habe ich ganz am Ende eine Frage dazu gestellt. Wie Leduart schon sagte, könnte ich hier die [mm] (-1)^n [/mm] in [mm] (x-2)^n [/mm] "hineinmultiplizieren. Es würde dann [mm] (2-x)^n [/mm] dastehen.
Wie ist das aber im allgemeinen bei alternierenten Reihen? Besteht die Möglichkeit auch dort das Wurzel oder Quotienten- Kriterium anzuwenden?
Der übersichtlichkeit halber habe ich die Frage aus dem ersten Post einfach mal hierrein kopiert:
"Ich habe gehört, dass man die Aufgabe auch mit dem Wurzelkriterium lösen könnte. Ich versteh leider nur nicht, wie ich da anfangen sollte, da es sich um eine alternierende Reihe handelt. Muss man dann etwa eine Fallunterscheidung machen für n=2n und n=2n+1? Oder kann man die $ [mm] (-1)^n [/mm] $ einfach mit unter die Wurzel ziehen und ausnutzen, dass der Betrag immer positiv ist?
Ich meine das so:
$ [mm] \wurzel[n]{|(-1)^n \cdot \bruch{(x-2)^n}{2n}|}=\wurzel[n]{| \bruch{(x-2)^n}{2n}|} [/mm] $
Es wäre toll, wenn jemand speziell zu meiner dritten Frage etwas mehr erklären könnte.
Ist es denn dann im allgemeinen so, dass man alternierende Reihen auch mit anderen Konvergenzkriterien (Wurzel, Quoti) untersuchen kann? Wenn ja, wie?"
Dank Leduart weiß ich ja bereits das dass bei dieser Aufgabe auch anders geht.
Ich bin aber daran interessiert wie das im allegmeinen bei alternierenden Reihen ist.
Ist also das Leibnitz kriterium das einzige Konvergenzkriterium oder kann man auch andere verwenden?
Gruß hans
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Hallo Hans,
um deine Frage kurz und knapp zu beantworten:
Anwenden kannst du das Quotienten- und Wurzelkriterium grundsätzlich bei jeder Reihe.
Die Frage ist halt nur, ob sie dir eine Aussage über die Konvergenz machen, oder eben leider nicht.
Das Leibnitz-Kriterium ist ein weiteres Kriterium, welches (schönerweise) auch Aussagen bei Reihen trifft, wo das Quotienten- oder Wurzelkriterium versagen.
Andersherum gibt es aber eben auch Reihen, wo man das Leibnitzkriterium nicht anwenden kann, die anderen beiden aber eine Konvergenzaussage liefern.
Hoffe, das hat dir weitestgehend geholfen 
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:18 So 04.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel!
>
> Danke erst mal für deine Antwort.
>
> > dann denke mal drüber nach: Konvergiert die Folge
> > [mm](|q|^n/n)_{n \in \IN}[/mm] gegen [mm]0\,[/mm] für [mm]|q| \le 1\,,[/mm] oder für
> > [mm]|q| > 1[/mm]?
>
> Sorry, anstatt [mm]\le[/mm] und [mm]\ge[/mm] wollte ich eigentlich [mm]\le[/mm] und <
> schreiben.
>
> Bin mir also nicht sicher, ob ich [mm]\le[/mm] oder < verwenden
> muss.
>
> >
> > > [mm]|x-2| \red{\le}1[/mm] [mm]\Rightarrow x \in \IR [1;3][/mm]
> >
> > Besser: [mm]|x-2| \le 1 \gdw x \in [1,3]\,.[/mm] Wichtiger hierbei
> > ist doch [mm]\Leftarrow[/mm]!
>
> Ok.
>
> > Übrigens:
> > Wegen [mm]\sqrt[n]{n} \to 1[/mm] ist (relativ schnell) klar,
> dass
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \cdot \bruch{(x-2)^n}{2n}[/mm] für
> > [mm]|x-2| < 1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
konvergiert...
>
> Da spielst du auf das Wurzelkriterium an.
ja - oder halt, wo das Wurzelkriterium seinen Ursprung hat, auf die geometrische Reihe und das Majorantenkriterium.
Also: Für $|x-2| < 1\,,$ also $x \in ]1,3[\,,$ erhält man sicher Konvergenz der Reihe. Nach dem Wurzelkriterium erhält man auch die Divergenz der Reihe für $|x-2| > 1\,,$ also für $x \in \IR \setminus [1,3]\,.$ Also bleiben noch die Fälle $x=1\,$ und $x=3\,$ gesondert zu betrachten.
Übrigens:
Für $|x-2| > 1\,$ kann man hier auch wieder alternativ wie im Beweis des WKs argumentieren: Denn dann gilt
$$|x-2|^n/n \to \infty\,,$$
so dass das Trivialkriterium sagt, dass die Reihe nicht konvergent sein kann (denn die Konvergenz der Reihe $\sum a_n$ liefert ja NOTWENDIGERWEISE (nicht hinreichenderweise!), dass $a_n\to 0$ (und damit auch $|a_n| \to 0$)).
P.S.:
Beim Wurzelkriterium wäre ja
$$\limsup_{n \to \infty} \wurzel[n]{|(-1)^n \cdot \bruch{(x-2)^n}{2n}|}$$
zu berechnen, und dabei kann man benutzen (Rechnen mit Beträgen!)
$$ \lim_{n \to \infty} \wurzel[n]{|(-1)^n \cdot \bruch{(x-2)^n}{2n}|}=\lim_{n \to \infty}\wurzel[n]{\underbrace{|(-1)^n|}_{=1} \bruch{|(x-2)^n|}{2n}}=\lim_{n \to \infty}\wurzel[n]{|-1|^n \bruch{|x-2|^n}{2n}}=\lim_{n \to \infty}{ \bruch{|x-2|}{\wurzel[n]{2n}}\,.$$
Nun kann man zeigen/benutzen, dass $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2n}=\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{2}*\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n}=1*1=1\,,$ so dass sich, weil, wenn ein Limes existiert, der Limsup dann automatisch der Limes ist, und weil aus $a_n \to a$ auch $1/a_n \to 1/a$ folgt, sofern $a \not=0$ und (fast alle) $a_n \not=0$ sind:
$$\limsup_{n \to \infty} \wurzel[n]{|(-1)^n \cdot \bruch{(x-2)^n}{2n}|}=|x-2|*\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{2n}}=|x-2|*\frac{1}{\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{2n}}=|x-2|*\frac{1}{1}=|x-2|\,.$$
Somit liefert das WK die Konvergenz, falls $|x-2| < 1\,,$ also $1 < x < 3\,,$ und Divergenz, falls $x \in \IR \setminus [1,3]\,.$ Auch hier wieder: Die Fälle $x=1\,$ und $x=3\,$ sind nochmal separat zu untersuchen!
Ist Dir die Vorgehensweise beim WK nun klarer?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 So 04.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Hallo Marcel!
Danke für deine Hilfe!
Ja, die Vorgehensweise ist mir nun klar.
Deine klare und ausführliche Antwort hat mir wirklich sehr geholfen.
Gruß Hans
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