Reihenkonvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Sa 25.05.2019 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
ich möchte die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel[n]{x}-1) [/mm] für x > 0 auf Konvergenz untersuchen.
Ich komme jedoch weder mit dem Quotientenkriterium noch mit dem Wurzelkriterium weiter.
Auch das Integralkriterium von Cauchy oder das Abschätzen einer Minorante oder Majorante habe ich bisher nicht hinbekommen.
Kann mir jemand von euch einen Tipp geben ?
Danke im voraus und viele Grüße
Rubi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 So 26.05.2019 | | Autor: | hippias |
Ich würde es mit der geometrischen Reihe versuchen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Mo 27.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
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> ich möchte die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel[n]{x}-1)[/mm]
> für x > 0 auf Konvergenz untersuchen.
>
> Ich komme jedoch weder mit dem Quotientenkriterium noch mit
> dem Wurzelkriterium weiter.
> Auch das Integralkriterium von Cauchy oder das Abschätzen
> einer Minorante oder Majorante habe ich bisher nicht
> hinbekommen.
> Kann mir jemand von euch einen Tipp geben ?
>
> Danke im voraus und viele Grüße
> Rubi
Ich würde es nicht mit der geometrischen Reihe versuchen.
Fall 1: x=1. In diesem Fall ist die Sache klar.
Fall 2: x>1. Wähle ein t>0 mit [mm] e^t
$(1+ [mm] \frac{t}{n})^n \to e^t$ [/mm] für $ n [mm] \to \infty$, [/mm] existiert ein N [mm] \in \IN [/mm] mit
$x > (1+ [mm] \frac{t}{n})^n$ [/mm] für alle $n >N.$
Das liefert
$ [mm] \wurzel[n]{x}-1 [/mm] > [mm] \frac{t}{n} [/mm] $ für alle $n >N.$
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel[n]{x}-1) [/mm] $ ist also divergent.
Fall 3: 0<x<1. Diesen Fall überlasse ich Dir. Beachte: [mm] \frac{1}{x}>1.
[/mm]
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Hiho,
auch wenn freds Beweis ja schon fast nicht zu toppen ist, hier noch ein etwas rudimentärer Ansatz:
Es ist $(x-1) = [mm] (\sqrt[n]{x} [/mm] - [mm] 1)\cdot\sum_{k=1}^{n-1} \sqrt[n]{x}^k$ [/mm] und damit
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel[n]{x}-1) [/mm] = [mm] (x-1)\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n-1} \sqrt[n]{x}^k}$
[/mm]
Nun gilt für $x>1$:
[mm] $\frac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n-1} \sqrt[n]{x}^k} [/mm] > [mm] \frac{1}{nx}$ [/mm]
und für $x<1$
[mm] $\frac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n-1} \sqrt[n]{x}^k} [/mm] > [mm] \frac{1}{n}$ [/mm]
Begründe beide Abschätzungen jeweils, und du erhältst eine Abschätzung mit Hilfe der harmonischen Reihe.
Gruß,
Gono
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