Reihengleichung beweisen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Do 08.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Beweisen Sie: Für jede natürliche Zahl n gilt
[mm] \summe_{i=1}^{n} i^{3} [/mm] = [mm] (\summe_{j=1}^{n} j)^{2} [/mm] |
So weit - in der Theorie eigentlich ganz einfach, hakts bei mir bei diesem Induktionsbeweis doch ordentlich.
So weit meine Überlegungen:
Induktions-Anfang:
n= 1: [mm] 1^{3} [/mm] = 1 = [mm] 1^{2} \checkmark
[/mm]
Induktions-Schritt:
Für ein beliebiges, jedoch festes n [mm] \in \IN [/mm] gelte bereits unsere Induktionsvoraussetzung
[mm] \summe_{i=1}^{n} i^{3} [/mm] = [mm] (\summe_{j=1}^{n} j)^{2}.
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} i^{3} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} i^{3} [/mm] + (n + [mm] 1)^{3} \underbrace{=}_{Ind.Vor.} (\summe_{j=1}^{n} j)^{2} [/mm] + (n + [mm] 1)^{3} [/mm] = ...?
Dies müsste man ja jetzt dergestalt umformen, dass man es auf die Ausgangsformel rückführen könnte, sprich auf eine Gleichung [mm] (\summe_{j=1}^{n+1} j)^{2} [/mm] oder anders geschrieben [mm] (\summe_{j=1}^{n} [/mm] j + [mm] (n+1))^{2}.
[/mm]
Bloß ist mir hier noch kein Weg eingefallen, das Quadrat zu vereinfachen, zu umgehen, oder sonstwie eine Umformung zu erhalten, mit der ich irgendwie weiter käme. Hat jemand eine Idee?
Oder zumindest nen Akkuschrauber um das Brett vor meinem Kopf zu lockern? :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Do 08.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Dies müsste man ja jetzt dergestalt umformen, dass man es
> auf die Ausgangsformel rückführen könnte, sprich auf eine
> Gleichung [mm](\summe_{j=1}^{n+1} j)^{2}[/mm] oder anders
> geschrieben [mm](\summe_{j=1}^{n}[/mm] j + [mm](n+1))^{2}.[/mm]
>
> Bloß ist mir hier noch kein Weg eingefallen, das Quadrat zu
> vereinfachen, zu umgehen, oder sonstwie eine Umformung zu
> erhalten, mit der ich irgendwie weiter käme. Hat jemand
> eine Idee?
Nimm doch die binomische Formel:
[mm]\left(\summe_{j=1}^{n} j + (n+1)\right)^{2} = \left(\summe_{j=1}^{n} j \right)^2 + 2\left(\summe_{j=1}^{n} j \right)(n+1) + (n+1)^2[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 Do 08.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Ach, tausend Dank. Manchmal sind es eben die kleinen Dinge im Leben. Jetzt ist alles klar. :)
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