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Hallo,
Aufgabe: Bestimmen Sie die Taylorreihe um x=0 der Funktion
[mm]f(x)=\bruch{e^{2x^2}}{1-x^2}[/mm]
Ich vermute, dass man diese Reihe aus
[mm]e^x = \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}[/mm] und
[mm](1-x)^m = \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\bruch{m(m-1)...(m-n+1)}{n!}*x^n[/mm]
zusammensetzen soll, mit den Ableitungen würde man sonst ja nie fertig werden.
IMHO würde die Reihe dann so aussehen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(2x^2)^n*n!}{n!*(-1)^n*(m*(m-1)...(m-n+1))*x^{2*n}[/mm]
So und warum fliegt das [mm] x^{2n} [/mm] jetzt raus?
Wie kann man diese komische Produktschreibweise der [mm] (1-x)^m [/mm] Reihe noch anders schreiben?
Der Konvergenzradius der Reihe im Zähler ist |x| <= [mm] \infty, [/mm] im Nenner |x|<=1; ist der für die neue Reihe dann auch |x|<=1?
Wie ist die Zusatzfrage "Was ist der Wert der zwanzigsten Ableitung von f ander Stelle x=0?" zu lösen?
Gruß,
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Es ist, wie du richtig sagtest
[mm] $e^x=\summe_{k=0}^{\infty}{\frac{x^{k}}{k!}}$
[/mm]
[mm] $\gdw e^{2x^2}=\summe_{k=0}^{\infty}{\frac{2^k}{k!}\cdot x^{2k}}$
[/mm]
Weiter noch gilt
[mm] $\frac{1}{1-x^2}=\summe_{k=0}^{\infty}{x^{2k}}$.
[/mm]
Der Ansatz lautet nun, die gesuchte Taylorreihe als Produkt der zwei obigen Taylorreihen zu berechnen, was sich leicht realisieren lässt:
[mm] $\frac{e^{2x^2}}{1-x^2}=e^{2x^2}\cdot\frac{1}{1-x^2}=\left(\summe_{k=0}^{\infty}{\frac{2^k}{k!}\cdot x^{2k}}\right) \cdot\left(\summe_{k=0}^{\infty} x^{2k}\right)$
[/mm]
[mm] $=\summe_{k=0}^{\infty}{x^{2k}\summe_{i=0}^{k}{\frac{2^i}{i!}}}$
[/mm]
Die Zusatzfrage solltest du nun leicht beantworten können.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Fr 11.03.2005 | | Autor: | chris2000 |
Vielen Dank für deine Antwort.
> Der Ansatz lautet nun, die gesuchte Taylorreihe als Produkt
> der zwei obigen Taylorreihen zu berechnen, was sich leicht
> realisieren lässt:
Achso, ja ich habe übersehen, dass es für 1/(1-x) auch eine Reihenentwicklung gibt. Mein Ansatz war:
[mm]\bruch{ \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(2x^2)^n}{n!}}{ \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n * \bruch{2* ... (m-n+1)}{n!}*x^{2n}}[/mm]
> Die Zusatzfrage solltest du nun leicht beantworten
> können.
Muss ich mir nochmal anschaun.
Vielen DAnk nochmal.
Gruß,
Christian
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> [mm]\frac{e^{2x^2}}{1-x^2}=e^{2x^2}\cdot\frac{1}{1-x^2}=\left(\summe_{k=0}^{\infty}{\frac{2^k}{k!}\cdot x^{2k}}\right) \cdot\left(\summe_{k=0}^{\infty} x^{2k}\right)[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}{x^{2k}\summe_{i=0}^{k}{\frac{2^i}{i!}}}[/mm]
Ich habe doch noch eine Frage: wie bist du denn auf die Umformung hinter dem letzten Gleichheitszeichen gekommen?
Kann man das noch weiter zusammenfassen dass man nur noch ein Summenzeichen hat?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Fr 11.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Dies ist einfach die Formel für das Cauchy-Produkt!
Bekanntlich gilt:
[mm] $\left( \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kx^k \right) \cdot \left( \sum\limits_{l=0}^{\infty} b_lx^l \right) [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left( \sum\limits_{i=0}^k a_i b_{k-i} \right)x^k$.
[/mm]
Wenn man, wie hier, nur gerade Exponenten hat, kann man natürlich entsprechend schreiben:
[mm] $\left( \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{2k}x^{2k} \right) \cdot \left( \sum\limits_{l=0}^{\infty} b_{2l}x^{2l} \right) [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left( \sum\limits_{i=0}^k a_{2i} b_{2k-2i} \right)x^{2k}$.
[/mm]
Hier erhalten wie mit [mm] $a_{2i}=\frac{2^i}{i!}$ [/mm] und [mm] $b_{2k-2i}=1$ [/mm] dann gerade die Behauptung.
Viele Grüße
Stefan
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Hallo,
> [mm]\left( \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kx^k \right) \cdot \left( \sum\limits_{l=0}^{\infty} b_lx^l \right) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left( \sum\limits_{i=0}^k a_i b_{k-i} \right)x^k[/mm].
danke für deine Antwort, aber das Cauchy-Produkt versteh ich überhaupt nicht. Wenn ich es mal nicht mit Potenzreihen und ausführlich schreibe, müsste es doch so aussehen:
[mm] \left( \summe_{k=0}^{2} A(k) \right) \cdot \left( \summe_{l=0}^{2} B(l) \right) = \summe_{k=0}^{2} \left( \summe_{l=0}^{2} A(k) * B(l) \right)[/mm]
[mm]\left[ A(0) + A(1) + A(2) \right] * \left[ B(0) + B(1) + B(2) \right] = A(0) \left[ B(0) + B(1) + B(2) \right] + A(1) * \left[ B(0) + B(1) + B(2) \right] + A(2) * \left[ B(0) + B(1) + B(2) \right][/mm]
Wie ist das jetzt bei den Potenzreihen mit den Indizes? Warum hat a i als Index und warum b (k-i). Könnte man die vertauschen? Was wäre wenn man die beiden Reihen auf der linken Seite vertauscht?
Christian
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Mi 23.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Chris!
Das Cauchy-Produkt machst du dir am Besten am Beispiel der Polynommultiplikation klar. Nehmen wir an, es seien die Polynome $f,g\in \IR[x]$ mit $f:=\summe_{i=0}^{n_f} a_i\cdot x^i,\quad g:=\summe_{i=0}^{n_g} b_i\cdot x^i$ gegeben. Multiplizierst du sie, so musst du, um die Normalform eines Polynomes zu erhalten, das Produkt $\left(\summe_{i=0}^{n_f} a_i\cdot x^i\right)\cdot\left(\summe_{i=0}^{n_g} b_i\cdot x^i\right)$ ausmultiplizieren. Ziel ist es dabei, das Polynom $f\cdot g$ in der Form $\summe_{i=0}^{n_f+n_g} c_i\cdot x^i$ mit den noch zu bestimmenden Koeffizienten $c_i$ darzustellen. Dazu überlegen wir uns, wie der Exponent $i$ in $x^i$ zu Stande kommt: beim Ausmultiplizieren greifst du dir aus der linken und der rechten Klammer einen Summanden, multiupolizierst sie und schreibst das Produkt als Summanden des Produktes hin. Multiplizierst du die Summanden $a_i\cdot x^i$ und $b_j\cdot x^j$, so erhältst du $(a_i\cdot b_j)\cdot x^{i+j}$. Der Exponent $i+j$ kommt aber auch zu Stande, wenn du $a_{i-1}\cdot x^{i-1}$ mit $b_{j+1}\cdot x^{j+1}$ multiplizierst. Allgemein gesprochen erhältst du den Exponenten $m$ immer dann, wenn du zwei Summanden aus der linken und rechten Klammer multiplizierst, für die die Summe der Exponenten von $x$ genau $m$ ergibt. Dafür gibt es die Möglichkeiten $(0,m),(1,m-1),...,(m-1,1),(m,0)$. Für alle diese Summandenprodukte hat $x$ den Exponenten $m$. Klar: am Ende des Ausmultiplizierens fasst du die Terme nach dem Exponenten von $x$ zusammen und erhältst somit als Koeffizienten von $x^m$ tatsächlich die Summe $\summe_{j=0}^{m} a_j\cdot b_{m-j}$ - nach obiger Erklärung sollte nun auch klar sein, dass die Reihenfolge, in der du multiplizierst, keine Rolle spielt; das kann man aber auch direkt an der Summe sehen, da $\summe_{j=0}^{m} a_j\cdot b_{m-j}=\summe_{j=0}^{m} a_{m-j}\cdot b_j$ entspricht. Das Produkt von $f$ und $g$ ist also $\summe_{i=0}^{n_f+n_g}\left(\summe_{j=0}^{i} a_j\cdot b_{i-j}\right) x^i}$.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Mi 23.03.2005 | | Autor: | chris2000 |
Hab's verstanden. Sehr gute Erklärung. vielen Dank!
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