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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Di 16.12.2008 | | Autor: | MacMath |
| Aufgabe | Bestimmen und klassifizieren sie alle Singularitäten der Funktion
[mm]g: z \mapsto \bruch{z}{exp(z)-1}[/mm]
Zeigen sie dass sich g um 0 in eine Reihe der Form
[mm]g(z)=\summe_{n=0}^\infty \bruch{B_n}{n!}z^n[/mm]
entwickeln lässt mit einem zu bestimmenden Konvergenzradius R und folgenden Eigenschaften:
(a) [mm] B_0=1, B_1=-\bruch{1}{2}, B_{2n+1}=0 [/mm] für [mm] n\in \IN
[/mm]
(b) [mm] \summe_{k=0}^n \vektor{n+1 \\ k}B_k=0 [/mm] für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
(c) [mm] B_n\in\IQ [/mm] für alle [mm] n\in\IN_0
[/mm]
Hinweis: Betrachten sie bei a) [mm]g(z)-g(-z)[/mm] und bei b) [mm] g\bruch{1}{g} [/mm] |
Wie fange ich bei dieser Aufgabe an, allgemein zur herangehensweise, noch bevor es an die Teilaufgaben (a) bis (c) geht?
EDIT:
Achso, die Singularitäten liegen bei [mm] 2ik\pi, k\in\IN_0 [/mm] und sind jeweils Pole da exp stetig ist und der Nenner damit gegen 0 geht, |g| also gegen [mm] \infty
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 Di 16.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen und klassifizieren sie alle Singularitäten der
> Funktion
>
> [mm]g: z \mapsto \bruch{z}{exp(z)-1}[/mm]
>
> Zeigen sie dass sich g um 0 in eine Reihe der Form
>
> [mm]g(z)=\summe_{n=0}^\infty \bruch{B_n}{n!}z^n[/mm]
>
> entwickeln lässt mit einem zu bestimmenden Konvergenzradius
> R und folgenden Eigenschaften:
>
> (a) [mm]B_0=1, B_1=-\bruch{1}{2}, B_{2n+1}=0[/mm] für [mm]n\in \IN[/mm]
> (b)
> [mm]\summe_{k=0}^n \vektor{n+1 \\ k}B_k=0[/mm] für alle [mm]n\in \IN[/mm]
>
> (c) [mm]B_n\in\IQ[/mm] für alle [mm][mm] n\in\IN_0[/mm
[/mm]
>
> Hinweis: Betrachten sie bei a) [mm]g(z)-g(-z)[/mm] und bei b)
> [mm]g\bruch{1}{g}[/mm]
> Wie fange ich bei dieser Aufgabe an, allgemein zur
> herangehensweise, noch bevor es an die Teilaufgaben (a) bis
> (c) geht?
>
>
> EDIT:
> Achso, die Singularitäten liegen bei [mm]2ik\pi, k\in\IN_0[/mm] und
> sind jeweils Pole da exp stetig ist und der Nenner damit
> gegen 0 geht, |g| also gegen [mm]\infty[/mm]
Die Singularitäten zu bestimmen, ist schon der richtige Weg. Allerdings hast du damit nur die Hälfte der Singularitäten, da du die negativen ganzen Zahlen für k vergessen hast. Außerdem liegt für k=0 kein Pol, sondern eine hebbare Singularität vor (sonst wäre die angegebene Reihenentwicklung gar nicht möglich).
Wenn du den Hinweis benutzt, fällt dir Aufgabe a in den Schoß, und b ist auch nicht allzu schwer, da du die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion kennst und daher sofort die Reihenentwicklung von [mm] $\bruch{1}{g}$ [/mm] angeben kannst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Di 16.12.2008 | | Autor: | MacMath |
Hallo reiner, vielen Dank für die Antwort. Du hast natürlich Recht, es muss [mm] k\in\IZ [/mm] heißen.
Aber wie zeige ich dass die singularität in 0 hebbar ist?
Daraus folgt ja dann auch die mögliche Reihenentwicklung da auf Kreisscheiben hol. Fkt als Potenzreihe darstellbar sind. (Ich nehme mal an es muss nicht gezeigt werden dass die reihe einer bestimmten form genügt da ich grundsätzlich mit n! erweitern könnte und die angegebene Form dadurch keine Einschränkung ist.
Und dann: Wie komme ich auf den Konvergenzradius R?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Di 16.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo reiner, vielen Dank für die Antwort. Du hast
> natürlich Recht, es muss [mm]k\in\IZ[/mm] heißen.
>
> Aber wie zeige ich dass die singularität in 0 hebbar ist?
Es reicht, die Funktion in 0 stetig fortzusetzen, also nachzuweisen, dass der Grenzwert [mm] $\lim_{z\to0}g(z)$ [/mm] existiert.
> Daraus folgt ja dann auch die mögliche Reihenentwicklung da
> auf Kreisscheiben hol. Fkt als Potenzreihe darstellbar
> sind. (Ich nehme mal an es muss nicht gezeigt werden dass
> die reihe einer bestimmten form genügt da ich grundsätzlich
> mit n! erweitern könnte und die angegebene Form dadurch
> keine Einschränkung ist.
>
> Und dann: Wie komme ich auf den Konvergenzradius R?
Im Zweifelsfall immer mit dem Kriterium von Cauchy-Hadamard. Mit Teilaufgabe b bekommst du ja eine Rekursionsformel für [mm] $B_n$. [/mm] Weil du alle Singularitäten in [mm] $\IC$ [/mm] kennst, weisst du außerdem, dass der Konvergenzradius [mm] $\le 2\pi$ [/mm] sein muss.
Tipp: Schau unter dem Begriff Bernoulli numbers nach!
Viele Grüße
Rainer
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