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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion
f(x) = [mm] \sqrt{1+a^2x^2} [/mm] mit a = const.
Entwicklen Sie eine Reihe dieser Funktion um x = [mm] \infty. [/mm] |
Die gesuchte Reihe ist
ax + [mm] \frac{1}{2ax} [/mm] - [mm] \frac{1}{8a^3x^3} [/mm] + [mm] o(\frac{1}{x^4})
[/mm]
So weit, so gut. Ich würde gerne noch nachvollziehen können, wie man darauf kommt. Eine Taylorreihenentwicklung für x --> [mm] \infty [/mm] liefert den ersten Summanden dieser Reihe ("ax"), alle anderen Terme der Taylorreihe gehen gegen null.
Ganz offensichtlich kann eine Taylorreihe auch keine Terme mit "x" im Nenner hervorbringen. Wie kommt man also auf diese Lösung?
Vielen Dank für eine kurze Erklärung.
Hinweis: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo franzzink,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben ist die Funktion
>
> f(x) = [mm]\sqrt{1+a^2x^2}[/mm] mit a = const.
>
> Entwicklen Sie eine Reihe dieser Funktion um x = [mm]\infty.[/mm]
>
> Die gesuchte Reihe ist
> ax + [mm]\frac{1}{2ax}[/mm] - [mm]\frac{1}{8a^3x^3}[/mm] + [mm]o(\frac{1}{x^4})[/mm]
>
> So weit, so gut. Ich würde gerne noch nachvollziehen
> können, wie man darauf kommt. Eine Taylorreihenentwicklung
> für x --> [mm]\infty[/mm] liefert den ersten Summanden dieser
> Reihe ("ax"), alle anderen Terme der Taylorreihe gehen
> gegen null.
>
> Ganz offensichtlich kann eine Taylorreihe auch keine Terme
> mit "x" im Nenner hervorbringen. Wie kommt man also auf
> diese Lösung?
>
Hier wurde mit einem Trick gearbeitet.
Für [mm]a\not=0[/mm], klammere zunächst a*x aus:
[mm]\sqrt{1+a^2x^2}=a*x*\wurzel{1+\bruch{1}{a^{2}*x^{
2}}}}[/mm]
Setze dann in dem Wurzelausdruck [mm]z=\bruch{1}{ax}[/mm]
Dann ist die Taylorreihe von [mm]\wurzel{1+z^{2}}[/mm] um z=0 zu bilden.
Zu guter letzt resubstituierst Du und multiplizierst das ganze mit ax.
> Vielen Dank für eine kurze Erklärung.
>
>
> Hinweis: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Mi 25.07.2012 | | Autor: | franzzink |
Wenn man weiß, wie's geht, ist die Sache ja ganz einfach...
danke für die schnelle Hilfe! 
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