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Ein ganz einfache Frage - jedoch kein Lösungsansatz ... Kann uns jemand helfen?
Das Problem: Wir haben 2 Reihen (genau: Teilersummenfolgen) mit jeweils unterschiedlichem "Startwert" und "Schrittweite". Jedoch gilt für beide Reihen dass sie beide einen einzigen Wert (jedoch an unterschiedlicher Stelle (n)) besitzen. Einfaches Bsp mit einer Folge bzw. Reihe:
an1 = {1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66}
an2 = {1,4,16,25,36,49,64,81,100,121,144}
für 1<n>11 E|N
der Point of Interesst ist an1 = 36 und an2 = 36 für n1 = 8 und n2=5
Dieser Wert kommt in beiden Folgen vor .... und zwar als einziger!!!
Jetzt unsere Frage, da n1 und n2 nicht identisch sind, gibt es auch keinen Schnittpunkt zwischen den Folgen. Gibt es aber irgendeine Möglichkeit diesen Punkt zu berechnen??? Und zwar ohne irgendwelche Deterministischen Verfahren - nur an Hand der der beiden Bildungsgesetze?
Entschuldigt bitte die mathematischen Formulierungen, aber wir sind leider keine Matheprofis - jedoch scheitert unsere Idee an dieser Frage ...
Ganz lieben Dank
Janice & Nadine
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ihr Beiden!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Das Problem: Wir haben 2 Reihen (genau: Teilsummenfolgen)
> mit jeweils unterschiedlichem "Startwert" und
> "Schrittweite". Jedoch gilt für beide Reihen dass sie beide
> einen einzigen Wert (jedoch an unterschiedlicher Stelle
> (n)) besitzen. Einfaches Bsp mit einer Folge bzw. Reihe:
>
> an1 = {1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66}
Ich hoffe, ich verstehe euch richtig, daß das eine Folge von Summanden ist, und ihr eine geschlossene Formel für [mm] $1+3+6+10+\dotsb$ [/mm] sucht?
Es fällt auf, daß jeder dieser Summanden folgendermaßen darstellbar ist:
1 (lassen wir so stehen  )
3 = 1 + 2
6 = 1 + 2 + 3
10 = 1 + 2 + 3 + 4
u.s.w.
Für solche Reihen mit sich jeweils um 1 erhöhenden Summanden, gibt es jedoch die Gauss'sche Summenformel. Daher gilt für die obige Reihe:
[mm]\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{i}{j}} = \sum_{i=1}^{n}{\frac{i\left(i+1\right)}{2}} = \frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n}{i^2} + \sum_{i=1}^{n}{i}\right)[/mm]
Da es für [mm] $i^2-\texttt{Summanden}$ [/mm] ebenfalls eine Summenformel gibt, nämlich [mm] $\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$, [/mm] welche man durch Interpolation finden, und dann mit vollständiger Induktion beweisen kann, erhalten wir:
[mm]\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n}{i^2} + \sum_{i=1}^{n}{i}\right) = \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{12} + \frac{n\left(n+1\right)}{4} = \frac{n\left(n+1\right)}{4}\left(\frac{2n+1}{3} + \frac{3}{3}\right) = \frac{n\left(n+1\right)}{2}\frac{n+2}{3} = \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}[/mm]
> an2 = {1,4,16,25,36,49,64,81,100,121,144}
$1 = [mm] 1^2$
[/mm]
$4 = [mm] 2^2$
[/mm]
$16 = [mm] 4^2$
[/mm]
u.s.w.
Seltsam... da fehlt noch [mm] $3^2$ [/mm] als Summand. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") . Aber ansonsten wäre das die obige Reihe
[mm] $\sum_{i=1}^{n}{i^2} [/mm] = [mm] \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$.
[/mm]
Man könnte den Summanden [mm] $3^2$ [/mm] natürlich ausschließen, indem man die Reihen aufspaltet, aber der Ausdruck wird dann wesentlich komplizierter...
> für 1<n>11 E|N
>
> der Point of Interesst ist an1 = 36 und an2 = 36 für n1 = 8
> und n2=5
>
> Dieser Wert kommt in beiden Folgen vor .... und zwar als
> einziger!!!
>
> Jetzt unsere Frage, da n1 und n2 nicht identisch sind, gibt
> es auch keinen Schnittpunkt zwischen den Folgen. Gibt es
> aber irgendeine Möglichkeit diesen Punkt zu berechnen???
> Und zwar ohne irgendwelche Deterministischen Verfahren -
> nur an Hand der der beiden Bildungsgesetze?
Also, ihr wollt wohl nur die Summanden-Folgen vergleichen, richtig? Nicht die eigentlichen Summen... Dann setzen wir mal [mm] $i^2 [/mm] = [mm] \frac{i\left(i+1\right)}{2} \gdw i^2 [/mm] = i$. Die Lösungsmenge ist [mm] $\mathbb{L} [/mm] := [mm] \left\{i|i=0\vee i = 1\right\}$.
[/mm]
> Entschuldigt bitte die mathematischen Formulierungen, aber
> wir sind leider keine Matheprofis - jedoch scheitert unsere
> Idee an dieser Frage ...
Was ist denn eigentlich ein MatheProfi? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") Ich dachte man lernt nie aus! 
Liebe Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
[P.S. Oder wollt ihr wissen, bei welchem Index $i$ der Summand "sowieso" also z.B. 36 vorkommt? Dann setzt doch einfach [mm] $\frac{i\left(i+1\right)}{2} [/mm] = 36$ oder für die andere Summe [mm] $i^2 [/mm] = 36$ und löst nach der positiven Lösung für $i$ auf.]
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Hallo Karl ...
Ok, soweit verstanden ... aber ich spezifiziere, ok? Ich weiß nicht wie die Zahl heißt, die in beiden Folgen vorkommt. ich weiß nur, dass es eine Zahl dieser Art gibt!
Werden wir konkret mit einer unserer tatsächlichen Folgen :
an = (x+n)*(x-n)
bn = ((x-1)+n)*((x-1)-n)
Das ist genau einer unserer Problemfälle. Der andere ist übrigens
an = n*(x- (n-1)) und bn = n*((x-2) - (n-1)) ... wie auch immer:
Also, nehmen wir für das erste Problem für x = 17:
an = (17+n)*(17-n)
bn = ((17-1)+n)*((17-1)-n)
=
an = (17+n)*(17-n)
bn = (16+n)*(16-n)
Zwei wirklich "fast" identische Folgen mit folgenden Ergebnissen:
an: {288;285;280;273;264;253;<240>;225;208;189 ...}
bn: {255;252;247;<240>;231;220;207;192;175;156 ...}
Nur für n(an) = 7 und n(bn) = 4 haben beide Folgen die Zahl: 240
Und zwar nur genau diese eine Zahl!!! Und genau diese Zahl wollen wir
errechen - oder eben die beiden n(an) und/oder n(bn) für die dieses Event auftritt.
- Hier hilft uns weder Gauß weiter
- noch 240 = (16+n)*(16-n) (weil wir ja nicht wissen dass es 240 ist - genau dass wollen wir doch errechnen
- noch hilft uns ((16+n)*(16-n)) = ((17+n)*(17-n))
Wir wissen für unseren Fall (an=7, bn=4) gilt:
0 = ((17+n)*(17-n)) - ((16+n)*(16-n))
0 = ((17+7)*(17-7)) - ((16+4)*(16-4))
0 = 240 - 240
Karl, ich hoffe jetzt weißt du genau was ich meine (oder?) ... Hast du vielleicht hier einen Ansatz???
LG
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Hallo janice77de,
> Hallo Karl ...
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> Ok, soweit verstanden ... aber ich spezifiziere, ok? Ich
> weiß nicht wie die Zahl heißt, die in beiden Folgen
> vorkommt. ich weiß nur, dass es eine Zahl dieser Art gibt!
>
> Werden wir konkret mit einer unserer tatsächlichen Folgen
> :
>
> an = (x+n)*(x-n)
> bn = ((x-1)+n)*((x-1)-n)
>
> Das ist genau einer unserer Problemfälle. Der andere ist
> übrigens
> an = n*(x- (n-1)) und bn = n*((x-2) - (n-1)) ... wie auch
> immer:
>
>
> Also, nehmen wir für das erste Problem für x = 17:
>
> an = (17+n)*(17-n)
> bn = ((17-1)+n)*((17-1)-n)
>
> =
>
> an = (17+n)*(17-n)
> bn = (16+n)*(16-n)
>
> Zwei wirklich "fast" identische Folgen mit folgenden
> Ergebnissen:
>
> an: {288;285;280;273;264;253;<240>;225;208;189 ...}
> bn: {255;252;247;<240>;231;220;207;192;175;156 ...}
>
> Nur für n(an) = 7 und n(bn) = 4 haben beide Folgen die
> Zahl: 240
> Und zwar nur genau diese eine Zahl!!! Und genau diese Zahl
> wollen wir
> errechen - oder eben die beiden n(an) und/oder n(bn) für
> die dieses Event auftritt.
>
> - Hier hilft uns weder Gauß weiter
> - noch 240 = (16+n)*(16-n) (weil wir ja nicht wissen dass
> es 240 ist - genau dass wollen wir doch errechnen
> - noch hilft uns ((16+n)*(16-n)) = ((17+n)*(17-n))
>
> Wir wissen für unseren Fall (an=7, bn=4) gilt:
>
> 0 = ((17+n)*(17-n)) - ((16+n)*(16-n))
> 0 = ((17+7)*(17-7)) - ((16+4)*(16-4))
> 0 = 240 - 240
>
> Karl, ich hoffe jetzt weißt du genau was ich meine (oder?)
> ... Hast du vielleicht hier einen Ansatz???
Ansatz:
[mm]
\begin{gathered}
x^2 \; - \;n_1^2 \; = \;\left( {x\; - \;1} \right)^2 \; - \;n_2^2 \hfill \\
\Leftrightarrow \;x^2 \; - \;\left( {x\; - \;1} \right)^2 \; = \;n_1^2 \; - \;n_2^2 \hfill \\
\Leftrightarrow \;2\;x\; - \;1\; = \;\left( {n_1 \; + \;n_2 } \right)\;\left( {n_1 \; - \;n_2 } \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Hier muss man also die Teiler von [mm]2\;x\;-\;1[/mm] untersuchen.
Dann hat man das Gleichungssystem
[mm]
\begin{gathered}
n_1 \; + \;n_2 \; = \;t_1 \hfill \\
n_1 \; - \;n_2 \; = \;t_2 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
zu untersuchen, wobei [mm]t_1 \;t_2 \; = \;2\;x\; - \;1[/mm] für [mm]
t_1 ,\;t_2 \; \in \;\mathbb{N}[/mm] .
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Do 15.12.2005 | | Autor: | janice77de |
Hallo Mathepower ...
Ja, ich mußte kurz schmunzeln ... aber nicht lange :(
Das gleiche hatte ich auch als Idee im Kopf, da sich das Binom ja förmlich aufdrängt. Allerdings bedeutet dies, dass ich mein Problem genau dann löse, wenn ich das Faktorsierungsproblem der Mathematik lösen könnte - und das ist auch nicht gerade naheliegend :)
>>Hier muss man also die Teiler von untersuchen. Dann hat man das Gleichungssystem
2x-1 = 2*17-1 = 33
Ok, diese Teiler kann ich noch untersuchen (3/11) aber wie dies nun mal leider ist, wird es bei größeren Zahlen schwer bis unmöglich -> und wenn dann eben nur durch deterministische Methoden (Polard, Zahlenkörbersieb etc.). Genau dass wollten wir eben nicht haben.
Aber ich schätze dann mal, dass es wohl dementsprechend tatsächlich keine Lösung für mein Problem gibt - und das ist eben auch eine Aussage ...
Trotzdem nochmal ganz lieben Dank an euch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Mo 19.12.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo janice77de,
> Hallo Mathepower ...
>
> Ja, ich mußte kurz schmunzeln ... aber nicht lange :(
> Das gleiche hatte ich auch als Idee im Kopf, da sich das
> Binom ja förmlich aufdrängt. Allerdings bedeutet dies, dass
> ich mein Problem genau dann löse, wenn ich das
> Faktorsierungsproblem der Mathematik lösen könnte - und das
> ist auch nicht gerade naheliegend :)
>
> >>Hier muss man also die Teiler von untersuchen. Dann hat
> man das Gleichungssystem
>
> 2x-1 = 2*17-1 = 33
>
> Ok, diese Teiler kann ich noch untersuchen (3/11) aber wie
> dies nun mal leider ist, wird es bei größeren Zahlen schwer
> bis unmöglich -> und wenn dann eben nur durch
> deterministische Methoden (Polard, Zahlenkörbersieb etc.).
> Genau dass wollten wir eben nicht haben.
Vergiss nicht die Teiler müssen ganzzahlig sein.
Es sind hier nur diejenigen Teiler zu untersuchen die in [mm]\IN[/mm] liegen.
>
> Aber ich schätze dann mal, dass es wohl dementsprechend
> tatsächlich keine Lösung für mein Problem gibt - und das
> ist eben auch eine Aussage ...
Doch eine Lösung gibt es.
Man hat nun die Gleichung
[mm]\left( {n_1 \; + \;n_2 } \right)\;\left( {n_1 \; - \;n_2 } \right)\; = \;33[/mm]
welche äquivalent ist zu den Gleichungssystemen
[mm]
\begin{gathered}
n_1 \; + \;n_2 \; = \;3 \hfill \\
n_1 \; - \;n_2 \; = \;11 \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
bzw.
[mm]\begin{gathered}
n_1 \; + \;n_2 \; = \;11 \hfill \\
n_1 \; - \;n_2 \; = \;3 \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Die Aufgabe ist nun herauszufinden, welches Gleichungssystem eine Lösung hat, die in [mm]\IN[/mm] liegt.
>
> Trotzdem nochmal ganz lieben Dank an euch
>
>
>
Gruß
MathePower
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