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Reihen und Konvergenz: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 Fr 05.06.2009
Autor: Blub2009

Aufgabe
Reihen auf Konvergenz bwz. absolute Konvergenz Untersuchen
[mm] a)\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n/\wurzel{n} [/mm]

  [mm] a_{n+1}/a_{n}=(-1)^{n+1}/\wurzel{n+1}*\wurzel{n}/(-1)^n=-1*\wurzel{n}/\wurzel{n+1} [/mm]

[mm] |a_{n+1}/a_{n}|=|-(\wurzel{n}/\wurzel{(n+1)}|\to [/mm] 1 1=L<1

b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n*n/n+1 [/mm]
[mm] a_{n+1}/a_{n}=((-1)^{n+1}*(n+1/n+1+1))*(n+1/(-1)^n*n)=-1*1*n+1/n [/mm]

[mm] |a_{n+1}/a_{n}|=|-(n+1/n)|\to1 [/mm] 1=L<1

Ich soll die zwei alternierenden Reihen auf Konvergenz bzw. absolute Konvergenz untersuchen ich habe dies mal versucht und würde um eine Korrektur bzw. anmerkungen bitten falls nötig.

[mm] a)\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n/\wurzel{n} [/mm]

  [mm] a_{n+1}/a_{n}=(-1)^{n+1}/\wurzel{n+1}*\wurzel{n}/(-1)^n=-1*\wurzel{n}/\wurzel{n+1} [/mm]

[mm] |a_{n+1}/a_{n}|=|-(\wurzel{n}/\wurzel{(n+1)}|\to [/mm] 1 1=L<1

b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n*n/n+1 [/mm]
[mm] a_{n+1}/a_{n}=((-1)^{n+1}*(n+1/n+1+1))*(n+1/(-1)^n*n)=-1*1*n+1/n [/mm]

[mm] |a_{n+1}/a_{n}|=|-(n+1/n)|\to1 [/mm] 1=L<1


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Reihen und Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:34 Fr 05.06.2009
Autor: Marcel

Hallo,

> Reihen auf Konvergenz bwz. absolute Konvergenz Untersuchen
>  [mm]a)\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n/\wurzel{n}[/mm]
>  
> [mm]a_{n+1}/a_{n}=(-1)^{n+1}/\wurzel{n+1}*\wurzel{n}/(-1)^n=-1*\wurzel{n}/\wurzel{n+1}[/mm]
>  
> [mm]|a_{n+1}/a_{n}|=|-(\wurzel{n}/\wurzel{(n+1)}|\to[/mm] 1 1=L<1

mit dem Quotientenkriterium kommst Du hier nicht weiter, da [mm] $|a_{n+1}/a_n| \to 1\,.$ [/mm] Außerdem, was soll $L=1 < [mm] 1\,$ [/mm] bedeuten? Es gilt doch gar nicht $1 < [mm] 1\,$!!! [/mm]

> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n*n/n+1[/mm]

Edit (Korrektur):

Bei der ersten Aufgabe:
[mm] $\longritharrow$[/mm]  []Leibnizkriterium

Bei der zweiten:
[]Trivialkriterium, d.h. prüfe, ob [mm] $\Big((-1)^n*\frac{n}{n+1}\Big)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Nullfolge ist.

Gruß,
Marcel

Bezug
        
Bezug
Reihen und Konvergenz: notwendiges Kriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 Fr 05.06.2009
Autor: Loddar

Hallo Blub,

[willkommenmr] !!


Untersuche bei der 2. Reihe das notwendige Kriterium, ob [mm] $(-1)^n*\bruch{n}{n+1}$ [/mm] eine Nullfolge ist.


Gruß
Loddar





Bezug
                
Bezug
Reihen und Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:40 Fr 05.06.2009
Autor: Marcel

Hallo Loddar,

> Hallo Blub,
>  
> [willkommenmr] !!
>  
>
> Untersuche bei der 2. Reihe das notwendige Kriterium, ob
> [mm](-1)^n*\bruch{n}{n+1}[/mm] eine Nullfolge ist.

war mir gerade auch nochmal ins Auge gesprungen (ich war noch etwas von dem Quotienten von a) irritiert), ist mittlerweile korrigiert.

Gruß,
Marcel

Bezug
        
Bezug
Reihen und Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:45 Fr 05.06.2009
Autor: Blub2009

danke für die schnelle antwort ich werde es mal so versuchen

Bezug
        
Bezug
Reihen und Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:45 Fr 05.06.2009
Autor: Blub2009

ich habe es nochmal versucht ich hoffe das es diesmal richtig ist.

a)$ [mm] a)\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n/\wurzel{n} [/mm] $

Vorausstezung für konvergenz nach Leibniz

[mm] 1)\limes_{n\rightarrow\infty} |a_{n}|=0 [/mm]

[mm] 2)|a_{n}|\ge |a_{n+1}| [/mm]

Beweis: 1)grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 1/\wurzel{n}=0 [/mm]


2)Monotonie        [mm] 1/\wurzel{n}>1/\wurzel{n+1} [/mm]
                    [mm] \wurzel{n+1}>\wurzel{n} [/mm]
dies zeigt das die reihe Mon. fallend ist      

da beide bedingungen erfühlt sind ist die reihe konvergent


b)$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n\cdot{}n/n+1 [/mm] $

Trivialkriterium vorausstezung

[mm] 1)a_{n}\to0 [/mm]
2)Mon. fallend

Beweis:1 Wenn die Reihe Konverengt ist, so auch

[mm] S_{n}=\summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm]
     [mm] =a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+an+1 [/mm]
     =(-0,5)+(-0,66)+(-0,75)+...+(-n/n+1)

und damit ist [mm] S_{n}\to1 [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm]

1)Mon.

[mm] a_{n}>a_{n+1} [/mm]

-(n/n+1)>(n+1)/(n+1+1)
[mm] -n^2-2n >-n^2-2n-1 [/mm]

Reihe Mon. fallend

Mit 1 und 2 zeigt das die Reihe Mon. fallend gegen 0 Konv.

Bezug
                
Bezug
Reihen und Konvergenz: Aufgabe b.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:48 Fr 05.06.2009
Autor: Loddar

Hallo Blub!


Aufgabe a.) sieht gut aus.


Dagegen hast Du Aufgabe b.) falsch gemacht. Ist [mm] $\bruch{n}{n+1}$ [/mm] wirklich ein Nullfolge?


Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
Reihen und Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Fr 05.06.2009
Autor: Blub2009

nein sie ist keine nullfolge

habe ich damit gezeigt das die Reihe div.ist und nicht Konvergiert?

Bezug
                                
Bezug
Reihen und Konvergenz: richtig erkannt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:09 Fr 05.06.2009
Autor: Loddar

Hallo Blub!


> nein sie ist keine nullfolge
>  
> habe ich damit gezeigt das die Reihe div.ist und nicht
> Konvergiert?

[ok] Ganz genau ...


Gruß
Loddar


Bezug
                                        
Bezug
Reihen und Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:11 Fr 05.06.2009
Autor: Blub2009

ich danke für die hilfe :)

Bezug
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