Reihen auf Konvergenz überprüf < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Prüfen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^n}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^3 x^n [/mm] (|x|<1)
d) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} 2^{-n} \bruch{(2n)!}{2n!}
[/mm]
e) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(2n)!}{2n!} [/mm] |
Hallo, ich hab mal versucht es zu lösen. Vllt könnte mir jemand sagen ob das so richtig ist.
a) [mm] \summe_{n=1} ^{\infty}\bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}}
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}}=\bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}}*\bruch{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}=\bruch{n+1-n}{\wurzel{n}\wurzel{n+1}+n}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1} =\bruch{1}{n(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3n}\le \bruch{1}{n(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)}
[/mm]
Da [mm] \summe_{n=1} ^{\infty} \bruch{1}{3n} [/mm] eine divergente Minorante ist, divergiert nach dem Minorantenkriterium auch
[mm] \summe_{n=1} ^{\infty}\bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}}
[/mm]
b) [mm] \bruch{n!}{n^n} [/mm] = [mm] \bruch{1*2*...*n}{n*n*...*n} \le \bruch{2}{n^2} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2
Somit bildet [mm] \bruch{2}{n^2} [/mm] eine konvergente Majorante und aufgrund des Majorantenkriteriums ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^n} [/mm] Konvergent
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(n+1)^3 x^{n+1}}{n^3 x^n}|
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(n+1)^3 x^{n}*x}{n^3 x^n}| =\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(n+1)^3 }{n}|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} |(\bruch{(n+1) }{n})^3*x| =\limes_{n\rightarrow\infty} |(1+\bruch{1}{n})^3*x| [/mm] = |x|
Laut Vorraussetzung ist |x| <1, woraus folgt, dass die Reihe konvergiert
d) [mm] \bruch{1}{2^n}\bruch{(2n)!}{2n!} =\bruch{1}{2^n}* \bruch{2n(2n-1)(2n+2)...(n+1)*n!}{2n!}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{{2^n}*}\bruch{1}{2}*2n(2n-1)...(n+1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^{n+1}}*2n(2n-1)...(n+1)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} \le \bruch{1}{2^{n+1}}*2n(2n-1)...(n+1)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} \le \bruch{n}{4}\produkt_{k=n+1}^{2n}\bruch{k}{2}
[/mm]
Da [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n} [/mm] eine divergente Minorante ist. Divergiert auch nach Minorantenkriterium [mm] \summe_{n=1}^{\infty} 2^{-n} \bruch{(2n)!}{2n!}
[/mm]
[mm] e)\bruch{(2n)!}{2n!}= \bruch{2n(2n-1)(2n-2)...(n+1)*n!}{2n!} =\bruch{2n(2n-1)(2n-2)...(n+1)}{2} [/mm]
[mm] n\le \bruch{2n(2n-1)(2n-2)...(n+1)}{2} [/mm]
[mm] n\le n*\bruch{2n(2n-1)(2n-2)...(n+1)}{2} [/mm]
Somit bildet [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n eine divergente Majorante und aufgrund des Majorantenkriteriums ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(2n)!}{2n!} [/mm] divergent
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Hallo Trixi,
die Teilaufgaben a und d [url=https://vorhilfe.de/read?t=623289] hatten wir doch schon. a,b,c und e sind richtig und gut nachvollziehbar, wobei sich in c ein (wie ich denke) Schreibfehler eingeschlichen hat:
> c) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(n+1)^3 x^{n+1}}{n^3 x^n}|[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(n+1)^3 x^{n}*x}{n^3 x^n}| =\red{\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(n+1)^3 }{n}|}[/mm]
Wo kommt denn der rote unnötige und falsche Schritt her? Es geht doch richtig weiter:
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} |(\bruch{(n+1) }{n})^3*x| =\limes_{n\rightarrow\infty} |(1+\bruch{1}{n})^3*x|[/mm]
> = |x|
> Laut Vorraussetzung ist |x| <1, woraus folgt, dass die
> Reihe konvergiert
Aufgabe d finde ich nach wie vor nicht befriedigend.
> d) [mm]\bruch{1}{2^n}\bruch{(2n)!}{2n!} =\bruch{1}{2^n}* \bruch{2n(2n-1)(2n+2)...(n+1)*n!}{2n!}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{{2^n}*}\bruch{1}{2}*2n(2n-1)...(n+1)[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2^{n+1}}*2n(2n-1)...(n+1)[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2\red{n}} \le \bruch{1}{2^{n+1}}*2n(2n-1)...(n+1)[/mm]
Das n fehlt links. Außerdem ist dieser Schritt nur nachvollziehbar, wenn man selbst noch ein bisschen darauf herumrechnet. Du wirst wohl um Zwischenschritte nicht herumkommen.
> [mm]\bruch{1}{2\red{n}} \le \red{\bruch{n}{4}\produkt_{k=n+1}^{2n}\bruch{k}{2}}[/mm]
Und diesen Schritt kann ich gar nicht nachvollziehen. Wie kommst Du dahin?
> Da [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}[/mm] eine divergente
> Minorante ist, divergiert auch nach Minorantenkriterium
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 2^{-n} \bruch{(2n)!}{2n!}[/mm]
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 So 29.11.2009 | | Autor: | trixi28788 |
hey reverend,
das war leider ein gruppeninternes missverständis und hier sind leider fehler aufgetaucht, die bereits berichtigt wurden. es tut mir wirklich leid. aber du warst wirklich eine große hilfe
lg
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