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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Sa 14.01.2006 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die folgendenen Reihen konvergieren, berechnen sie gegebenenfalls den Reihenwert
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{3^{k+1}}{4 * 5^{k}}
[/mm]
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Hallo und ein schönes Wochenende an alle...
ich habe jetzt mal versucht diverse Aufgaben zu rechnen ...
naja, da sind dann doch paar Fragen aufgetaucht.
Ich hoffe, mir kann jemand weiter helfen.
Bei der Aufgabe:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{3^{k+1}}{4 * 5^{k}}
[/mm]
habe ich als erstes eine Indexverschiebung gemacht, damit ich bei k=1 anfangen kann, dass schaut dann wie folgt aus:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{3^{k+1}}{4 * 5^{k}} [/mm] =
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3^{k+2}}{4 * 5^{k+1}} [/mm] = [mm] \bruch{3^{2} * 3^{k}}{4 * 5 * 5^{k}} [/mm] = [mm] \bruch{9 * 3^{k}}{20 * 5^{k}} [/mm] = [mm] \bruch{9}{20} [/mm] * [mm] \bruch{3^{k}}{5^{k}} [/mm] = [mm] (\bruch{3^{k}}{5^{k}})^{k}
[/mm]
Wenn ich jetzt ein paar Zahlen für "Partialsumme" ausrechne erhalte ich...
n=1 [mm] \bruch{9}{20} [/mm] * [mm] \bruch{3}{5}
[/mm]
n=2 [mm] \bruch{9}{20} [/mm] * [mm] \bruch{3}{5} [/mm] + [mm] \bruch{9}{20} [/mm] *( [mm] \bruch{3}{5})^{2}
[/mm]
n=3 [mm] \bruch{9}{20} [/mm] * [mm] \bruch{3}{5} [/mm] + [mm] \bruch{9}{20} [/mm] *( [mm] \bruch{3}{5})^{2} [/mm] + [mm] \bruch{9}{20} [/mm] * ( [mm] \bruch{3}{5})^{3}
[/mm]
...
Eine Partialsumme bekomme ich nicht raus. also eigentlich nur
[mm] \bruch{9}{20} [/mm] * n * (???)
meine Reihe konvergiert nicht. sie divergiert gegen unendlich.
Ist das richtig?
Wenn nein, dann bitte ich an den Stellen wo falsch um Korrektur. Wenn richtig, dann wie schreibt man das auf mit divergiert -unigerecht-?
Für Antwort wäre ich sehr dankbar
Liebe Grüße
Doreen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Sa 14.01.2006 | | Autor: | Doreen |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich hätte da mal eine grundlegende Frage. Wenn ich sehe, dass in der
Reihe ein "hoch k" mit Multiplikation steht, kann ich dann grundsätzlich davon ausgehen, dass ich als erstes mal schauen sollte, dass es sich um eine geometrische Reihe handelt und deren Konvergenz überprüfe bevor ich zu einem anderen Kriterium schwenke?
Also ich habe das jetzt noch mal mit Indexverschiebung gemacht, ich komme dann auf das Gleiche (Übungszweck)
[mm] =\br{27}{100}\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty}\left(\br{3}{5}\right)^{k}
[/mm]
Dann gilt:
[mm] =\br{27}{100}\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty}\left(\br{3}{5}\right)^{k} [/mm] = [mm] =\br{27}{100}\cdot{}\summe_{k=0}^{n}\left(\br{3}{5}\right)^{k} [/mm] = 1 [mm] +\bruch{3}{5} [/mm] + [mm] \bruch{3}{5}^{2} [/mm] + [mm] \bruch{3}{5}^{3} [/mm] + [mm] \bruch{3}{5}^{4}+ [/mm] ... + [mm] \bruch{3}{5}^{n} [/mm] = ???
[mm] s_{1} [/mm] = 1
[mm] s_{2}= [/mm] 1+ [mm] \bruch{3}{5}
[/mm]
[mm] s_{3} [/mm] = 1+ [mm] \bruch{3}{5} [/mm] + [mm] (\bruch{3}{5})^{2}
[/mm]
[mm] s_{4} [/mm] = 1+ [mm] \bruch{3}{5} [/mm] + [mm] (\bruch{3}{5})^{2} [/mm] + [mm] (\bruch{3}{5})^{3}
[/mm]
Eine Partialsumme erkenne ich leider nicht. wie erhalte ich diese?
Jetzt muss ich doch prüfen Konvergenzverhalten |q| <= 1 in der Vorlesung hatten wir das allgemeine Beispiel mit Induktion errechnet, das geht doch hier genauso oder? und die [mm] \bruch{27}{100} [/mm] muss wahrscheinlich noch bei den [mm] s_{1} [/mm] bis [mm] s_{n} [/mm] dazu geschrieben werden, oder?
Vorausgesetzt es geht über Induktion, heißt es dann:
[mm] \summe_{k=0}^{n} (\bruch{3}{5})^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1- (\bruch{3}{5})^{n+1}}{1- \bruch{3}{5}}
[/mm]
für k=0 und n=0 1 = 1 wahre Aussage, Induktionsanfang erfüllt.
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} (\bruch{3}{5})^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} (\bruch{3}{5})^{k} [/mm] + [mm] (\bruch{3}{5})^{n+1} [/mm] = Ind.vor. = [mm] \bruch{1- (\bruch{3}{5})^{n+1}}{1- \bruch{3}{5}} [/mm] + [mm] (\bruch{3}{5})^{n+1} [/mm] ... dann
Nenner gleichnamig machen und schauen, was passiert, wenn n gegen unendlich geht... Wann findet die [mm] \bruch{27}{100} [/mm] Beachtung?
ist das korrekt oder liege ich total falsch?
Vielen DAnk für Antwort im Voraus
Gruß
Doreen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Sa 14.01.2006 | | Autor: | taura |
Hallo Doreen!
Ich verstehe ehrlich gesagt nicht, was du eigentlich machen willst...
Ihr habt in der Vorlesung doch offenbar die geometrische Reihe behandelt, also habt ihr bestimmt auch die folgende Formel bewiesen:
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}q^k\ [/mm] =\ [mm] \br{1}{1-q}$ [/mm] für $|q|<1$
Also setz das doch einfach ein und rechne es aus!
Gruß taura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Sa 14.01.2006 | | Autor: | Doreen |
Hallo...
ja, die Formel haben wir bewiesen...
wußte nur nich, dass wir das dann einfach einsetzen dürfen oder können oder sollen... wir bekommen eh nichts gesagt und dann grübelt man stundenlang und weiß gar nicht, was mit den Aufgaben anzufangen ist...
Ich versuchs mal,
danke Dir...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Sa 14.01.2006 | | Autor: | Doreen |
hallo,
sorry, stehe aufgrund der matheaufgaben heute wiedermal völlig auf dem schlauch... also bevor ich jetzt lange texte schreibe...
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^k [/mm] = [mm] \br{1}{1-q} [/mm]
[mm] \bruch{1}{1- \bruch{3}{5}} [/mm] = 2,5
mehr nicht?
Gruß
Doreen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Sa 14.01.2006 | | Autor: | taura |
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}q^k[/mm] = [mm]\br{1}{1-q}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{1- \bruch{3}{5}}[/mm] = 2,5
>
> mehr nicht?
Naja, doch, die [mm] $\br{27}{100}$ [/mm] musst du noch dranmultiplizieren...
Gruß taura
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
geometrischen Reihe