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| Aufgabe | Welche Reihen sind konvergent?
2a:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{n^{9}} [/mm] |
Servus zusammen.
Soweit bin ich mal:
Untersuchten will ich das ganze mit dem Quotientenkriterium [mm] |\bruch{a_{n}+1}{a_{n}}|
[/mm]
so aufgeschrieben hab ich also folgendes:
[mm] \bruch{(n+1)!}{(n+1)^{9}}*\bruch{n^{9}}{n!}
[/mm]
jetzt kürze ich die Fakutät:
[mm] \bruch{(n+1)*n^{9}}{(n+1)^{9}}
[/mm]
n+1 im Zähler ausklammern:
[mm] (n+1)(\bruch{n}{n+1})^9
[/mm]
so und nun wollte ich irgendwie n gegen unentlich gehen lassen.
da gienge der bruch gegen 1. Also das ganze wäre unentlich. Doch damit kann ich jetzt irgendwie nicht auf konvergenz oder divergenz schliessen.
Wo mach ich den Überlegungsfehler oder wo denke ich nicht zu Ende?
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Hallo little_doc!
Wenn der Grenzwert des Quotientenkriteriums $> \ 1$ ist, kann doch eindeutig auf Divergenz geschlossen werden.
Zudem ist hier auch gar nicht das notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz mit [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ 0$ erfüllt, da [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!}{n^9} [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Okay, natürlich: unentlich ist auch grösser 1... *grmz
noch etwas anderes:
Könnest du mir kurz sagen, wie ich mit Faktuläten umgehen muss, wenn ich den Limes suche?
> Zudem ist hier auch gar nicht das notwendige Kriterium für
> Reihenkonvergenz mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n \ = \ 0[/mm]
> erfüllt, da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!}{n^9} \ \not= \ 0[/mm]
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Hallo little_doc,
> Okay, natürlich: unentlich ist auch grösser 1... *grmz
>
> noch etwas anderes:
> Könnest du mir kurz sagen, wie ich mit Faktuläten umgehen
> muss, wenn ich den Limes suche?
Wenn du das Quotientenkriterium anwendest bei ner Fakultät kommst du oft auf Ausdrücke der Form [mm] $\left|\frac{...\cdot{}(n+1)!}{...\cdot{}n!}\right|$ [/mm] oder ähnlich.
Das Schöne ist, dass du $(n+1)!$ schreiben kannst als [mm] $(n+1)!=(n+1)\cdot{}n!$ [/mm] Dann kannst du nett kürzen.
Wenn du zB. eine Reihe [mm] $\sum\limits_n(2n)!$ [/mm] hast und gem. QK den Quotienten [mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ [/mm] bildest, hast du [mm] $\left|\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}\right|=\left|\frac{(2n+2)!}{(2n)!}\right|=\left|\frac{(2n+2)\cdot{}(2n+1)\cdot{}(2n)!}{(2n)!}\right|$ [/mm] und du kannst wieder schön viel wegkürzen.
Anders, wenn du zB. mit dem Wurzelkriterium [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}$ [/mm] betrachtest
Das strebt gegen [mm] $\infty$
[/mm]
Also bei Fakultäten immer zusehen, dass du das irgendwie in "Teilprodukte" aufteilst, so dass du kürzen kannst ...
LG
schachuzipus
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Okay.
Mein Versuch anhand von dieser Aufgabe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^{n}+n^{2}}{n!}
[/mm]
[mm] |\bruch{a_{n}+1}{a_{n}}|
[/mm]
[mm] =\bruch{(2^{n+1})*(n+1)^{2}}{(n+1)!}*\bruch{n!}{2^{n}*n^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{2^{n+1}*(n+1)}{2^{n}*n^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2^{n}}{2^{n}}*\bruch{2(n+1)}{n^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{(2n+2)}{n^{2}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(2n+2)}{n^{2}}=0
[/mm]
--> 0<1 --> absolut konvergent
Korrekt?
lieber gruess
Tobi
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Hallo Tobi!
Das ist nicht korrekt, da Du aus dem Pluszeichen im Zähler der Aufgabenstellung urplötzlich ein Malzeichen machst.
Zerlge Deine Reihe in zwei Teilreihen, die Du separat betrachtest:
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^{n}+n^{2}}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^{n}}{n!}+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^{2}}{n!}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Habe falsch abgetippt. muss schon ein * sein.
Sorry.
Wenn es ein * ist, stimmts dann?
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^{n}*n^{2}}{n!}
[/mm]
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Hallo Tobi!
Dann stimmt es!
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay, natürlich: unentlich ist auch grösser 1... *grmz
Bitte schreibe: Unendlich. Das Wort schreibt sich nicht mit t, sondern mit d. 
Gruß,
Marcel
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