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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Sa 06.08.2005 | | Autor: | real |
Hallo Forum,
folgende Aufgabe:
Aussage zur Konvergenz/Divergenz folgender Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{3n^2+1}
[/mm]
Folgender Lösungsvorschlag:
[mm] \bruch{n}{3n^2+1}\le\bruch{n}{n^2}= \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] ist divergent (Harmonische Reihe) also ist auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{3n^2+1} [/mm] divergent (Minorantenkriterium).
Ist das richtig?
Danke und Gruß
real
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Sa 06.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo real!
Du hast deinen Ausdruck in die "falsche" Richtung abgeschätzt. So weißt du lediglich, dass deine Partialsummen kleiner als die der divergenten harmonischen Reihe sind. Damit weißt du nicht, ob deine Reihe konvergiert oder divergiert - beides ist möglich. Du hättest deine Reihe durch eine divergente Reihe nach unten oder eine konvergente Reihe nach oben abschätzen müssen, damit du mit Hilfe dieser Vergleiche Aussagen über die Konvergenz hättest machen können.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Sa 06.08.2005 | | Autor: | real |
Hallo,
ok das leuchtet ein also kann man weder das Majoranten- noch das Minorantenkriterium hernehmen weil:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{3n^2+1}>\bruch{n}{n^3}=\bruch{1}{n^2}
[/mm]
bringt mich nicht weiter und
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{3n^2+1}\le\bruch{n}{n^2}=\bruch{1}{n}
[/mm]
bringt auch nix.
Das Quotientenkriterium liefert 1, also kann ich damit auch keine Aussage treffen.
Wie komme ich nun auf die Divergenz/Konvergenz dieser Reihe?
Danke und Grüße
real
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Hallo real,
Da bei dieser Reihe Quotienten- und Wurzelkriterium nichts bringen, müssten wir die Reihe nochmals genauer anschauen:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{3n^2+1} [/mm] $
Wie du schon richtig erkannt hast, ähnelt die Reihe der harmonischen Reihe, insbesondere wenn man 1/3 ausklammert.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{3n^2+1} = \frac{1}{3}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{n^2+\frac{1}{3}} [/mm]
Es sei nun [mm] $a_n:=\bruch{n}{n^2+\frac{1}{3}}$
[/mm]
und die harmonische Folge [mm] $h_n:=\frac{1}{n}$:
[/mm]
Der entscheidende Trick ist nun, dass [mm] $a_{n}>h_{n+1}$ [/mm] (da [mm] h_{n+1}-a_{n}=-\frac{3n-1}{(n+1)(3n^2+1)} [/mm])
Damit ist nun: [mm] \frac{1}{3}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{n^2+\frac{1}{3}} > \frac{1}{3}\summe_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n}=\frac{1}{3}\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}-\frac{1}{3} = \infty[/mm]
Womit man nun die Divergenz über das Minorantenkriterium aus der Divergenz der harmonischen Reihe erhällt.
Gruß Samuel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 So 07.08.2005 | | Autor: | real |
Hallo Samuel,
[mm] a_n:=\bruch{n}{n^2+\frac{1}{3}}
[/mm]
und
[mm] h_n:=\frac{1}{n}
[/mm]
dann ist
[mm] h_{n+1}-a_{n}=-\frac{n-\bruch{1}{3}}{(n+1)(n^2+\bruch{1}{3})}
[/mm]
deswegen ist
[mm] \bruch{n}{n^2+\frac{1}{3}}>\frac{1}{n}
[/mm]
also auch
[mm] \frac{1}{3}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{n^2+\frac{1}{3}}>\frac{1}{3}\summe_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n}
[/mm]
daraus folgt dann die Divergenz der Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{3n^2+1}
[/mm]
aus der Divergenz der Harmonischen Reihe
richtig?!
Gruß
real
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 So 07.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo real!
Eine Kleinigkeit hast Du vergessen hinzuschreiben ...
> [mm]a_n:=\bruch{n}{n^2+\frac{1}{3}}[/mm] und [mm]h_n:=\frac{1}{n}[/mm]
> dann ist
>
> [mm]h_{n+1}-a_{n}=-\frac{n-\bruch{1}{3}}{(n+1)(n^2+\bruch{1}{3})} \ \red{< \ 0 \ \ \forall \ n \ \in \ \IN}[/mm] [mm] $\red{\Rightarrow \ \ \ \ a_n \ > \ h_{n+1}}$
[/mm]
> daraus folgt dann die Divergenz der Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{3n^2+1}[/mm]
> aus der Divergenz der Harmonischen Reihe
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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