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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Mo 03.01.2011 | | Autor: | yuppi |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz |
Hallo,
[mm] \bruch{-1^k}{\wurzel{k^2+2k}}
[/mm]
Ich habe das selbe Verfahren nun im Nenner angewendet
[mm] \bruch{-1^k}{\wurzel{k^2+2k+1}}
[/mm]
[mm] \bruch{-1^k}{\wurzel{(k+1)^2}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{(k+1)^2}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{{(k+1)}}
[/mm]
Das ergibt doch, dass es um eine divergente Minorante handelt, oder nicht ?
Laut Musterlösung allerdings konvergiert die Reihe nach dem Leibnizkriterium ? Ich habe das Gegenteil raus.
Gruß yuppi
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> Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz
> Hallo,
>
> [mm]\bruch{-1^k}{\wurzel{k^2+2k}}[/mm]
>
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> Ich habe das selbe Verfahren nun im Nenner angewendet
>
> [mm]\bruch{-1^k}{\wurzel{k^2+2k+1}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-1^k}{\wurzel{(k+1)^2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{(k+1)^2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{{(k+1)}}[/mm]
>
>
> Das ergibt doch, dass es um eine divergente Minorante
> handelt, oder nicht ?
>
> Laut Musterlösung allerdings konvergiert die Reihe nach
> dem Leibnizkriterium ? Ich habe das Gegenteil raus.
>
>
> Gruß yuppi
Hallo yuppi,
mach zuerst mal klar (auch in der Schreibweise !), ob du nun
wirklich eine Reihe oder eine einfache Zahlenfolge meinst.
Was du mit "dasselbe Verfahren" meinst, wird nicht klar, da
du kein vorangehendes Beispiel erwähnst.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Mo 03.01.2011 | | Autor: | yuppi |
Also es handelt sich um eine Reihe. Ich muss die Reihe auf Konvergenz überprüfen.
Das Beispiel habe ich soeben mit statler im Matheraum gelöst. etwa 15 Minuten her.
Die jetzt hier aufgeführte Aufgabe ist in etwa identisch. Ich weiß leider nicht wie ich die eben gelöste Aufgabe hier hin verlinken kann.
Gruß yuppi
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> Also es handelt sich um eine Reihe. Ich muss die Reihe auf
> Konvergenz überprüfen.
Dann schreibe bitte für die (unendliche !) Reihe:
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\ \bruch{-1^k}{\wurzel{k^2+2k}} [/mm] $
Sie ist nach dem Leibnizkriterium konvergent, da die Vorzeichen
der Glieder alternierend sind und die Beträge der Glieder gegen
Null streben. Letzteres kann man leicht zeigen, weil
[mm] $\wurzel{k^2+2k}>\wurzel{k^2}=k$ [/mm] für [mm] k\ge1 [/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Mo 03.01.2011 | | Autor: | yuppi |
tut mir leid,
du bist leider nicht auf meine 1 Frage eingegangen. Da habe ich ja das Minorantenkriterium angewendet und demzufolge war ja die unendliche Reihe divergent.
Ist das kein Widerspruch ?
LG yuppi
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Hallo,
was hast du denn bei deiner Abschätzung mit dem Faktor [mm] (-1)^k [/mm] gemacht?
Deine Reihe ist konvergent, aber nicht absolut konvergent!
Gruß Patrick
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:52 Mo 03.01.2011 | | Autor: | yuppi |
Ich habe aus ihm eine 1 gemacht. Darf man das nicht ? Ich dachte den berücksichtigt man nicht beim Minorantenkriterium, oder ist das nur so beim Leibnizkriterium.
Was hätte ich sonst machen sollen ?
Ist das komplett falsch ?
LG yuppi
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> tut mir leid,
>
> du bist leider nicht auf meine 1 Frage eingegangen. Da habe
> ich ja das Minorantenkriterium angewendet und demzufolge
> war ja die unendliche Reihe divergent.
>
> Ist das kein Widerspruch ?
>
> LG yuppi
Mach dir zuerst klar, was man unter einer "Minorante"
exakt versteht.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mo 03.01.2011 | | Autor: | yuppi |
Minorante ist [mm] \bruch{1}{n} [/mm] Diese divergieren, wenn man Sie erkennt
Majorante ist [mm] \bruch{1}{n^2}
[/mm]
Diese konvergieren.
Wenn man diese in einer Aufgabe erkennt, wendet man entweder das Majoranten oder Minorantenkriterium an.
Beim Majorantenkriterium : Zähler Größer, Nenner Kleiner
Beim Minorantenkriterium : Zähler kleiner, Nenner Größer.
Ich hab mich wirklich damit beschäftigt sonst würd ich bestimmt nicht fragen stellen. Sitz schon den ganzen Tag an solchen Aufgaben aber habe halt meine Schwierigkeiten mit diesen Aufgaben und würde mich freuen wenn mir jemand weiterhilft.
lg yuppi
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> Minorante ist [mm]\bruch{1}{n}[/mm] Diese divergieren,
> wenn man sie erkennt ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich habe eine Definition erwartet, zum Beispiel:
die Reihe $\ A\ =\ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k$ [/mm] ist eine Minorante der Reihe $\ B\ =\ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}b_k$ [/mm] ,
wenn $\ [mm] a_k\le b_k$ [/mm] für alle [mm] k\in\IN
[/mm]
und etwa einen damit zusammenhängenden Satz wie z.B. :
Falls die Reihe B eine nach [mm] +\infty [/mm] divergente Minorante A
besitzt, so ist auch B divergent.
(Natürlich gibt es zu jeder Reihe, die nicht gegen
[mm] -\infty [/mm] divergiert, auch konvergente Minoranten)
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Mo 03.01.2011 | | Autor: | yuppi |
Danke für die Definition, aber ich bin ein Mensch der mit Definitionen leider nichts anfangen kann. Erst durch das rechnen der Aufgaben versteh ich Aufgaben.
Es wäre nett, wenn du mit erklären würdest wieso ich bei der aufgeführten Aufgabe, das Minorantenkriterium nicht anwenden darf. Das würde mich wirklich sehr weiterhelfen.
Lg yuppi
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> Danke für die Definition, aber ich bin ein Mensch der mit
> Definitionen leider nichts anfangen kann.
Daran solltest du dich jedoch nicht abfinden, sondern auf
jeden Fall daran arbeiten !
> Erst durch das rechnen der Aufgaben versteh ich Aufgaben.
>
> Es wäre nett, wenn du mir erklären würdest wieso ich bei
> der aufgeführten Aufgabe das Minorantenkriterium nicht
> anwenden darf. Das würde mir wirklich sehr weiterhelfen.
>
> Lg yuppi
Weil bei der gegebenen Reihe wegen den alternierenden
Vorzeichen [mm] (-1)^k [/mm] jeder zweite Summand negativ ist,
gibt es dazu keine Minorante, die nur aus positiven
Gliedern besteht.
LG Al
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