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| Aufgabe | | Zeigen Sie: Die Folge [mm] $\{x_k\}=\{(x_{1,k},...,x_{n,k}\}$ [/mm] konvergiert gegen $a= ( [mm] a_{1},...,a_{n})$ [/mm] genau, dann wenn [mm] $\{x_{j,k}\}$ [/mm] gegen [mm] $a_j$ [/mm] für $j=1,...,n$ konvergiert. |
Ich muss also zeigen, dass
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}\{x_k\}=a$ $\Rightarrow$ $\limes_{k\rightarrow\infty}\{x_{j,k}\}=a_j$
[/mm]
und
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}\{x_{j,k}\}=a_j$ $\Rightarrow$$\limes_{k\rightarrow\infty}\{x_k\}=a$
[/mm]
oder?
Um zu zeigen, dass ein Folge konvergiert muss ich doch nur zeigen, dass sie beschränkt ist und ein supremum oder infimum besitzt. oder?
Für die Rückrichtung hab ich mir folgendes überlegt.
[mm] $\{x_k\}=(x_{1,1},...,x_{n,1}),(x_{1,2},...,x_{n,2}),...,(x_{1,n},...,x_{n,n})$
[/mm]
Das sind die Elemente der Folge.
Da [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}\{x_{j,k}\}=a_j$ [/mm] gilt
[mm] $(x_{1,1}\to a_1,x_{2,1}\to a_2...,x_{n,1}\to a_n)$
[/mm]
[mm] $(x_{1,2}\to a_1,x_{2,2}\to a_2...,x_{n,2}\to a_n)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\limes_{k\rightarrow\infty}\{x_k\}=a$
[/mm]
Ist das richtig so??
Geht der Beweis in die andere Richtung genauso ?? Also kann ich das Argument umdrehen und sagen, dass wenn jedes Paar [mm] $x_k$ [/mm] gegen $a$ konvergiert konvergieren die einzelnen Elemente [mm] $x_{j,k}$ [/mm] gegen [mm] $a_j$ [/mm] ??
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Hiho,
du solltest das am besten direkt über die Definition von Konvergenz zeigen, also [mm] $||x_n [/mm] - a|| < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Da ja alle Normen äquivalent sind auf dem [mm] \IR^n [/mm] , nimmt man am besten die Maximumsnorm und dann stehts schon da 
MFG,
Gono.
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Ist das falsch, was ich gemacht habe??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Do 13.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist das falsch, was ich gemacht habe??
Du hast eigentlich nichts gezeigt, sondern einfach nur etwas behauptet (bei der Rückrichtung). Schau' Dir bitte die genaue Definition der Konvergenz einer Folge an (in metrischen oder normierten Räumen). Das, was Du bei Deinem "Rückrichtungsbeweis" machst, ist die Benutzung der Behauptung, um die Behauptung zu folgern. Du zeigst also - faktisch gesehen - gar nichts.
Bei dem Beweis zu [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] machst Du folgendes:
Nach Voraussetzung gilt [mm] $\lim_{k \to \infty}x_{j,k}=a_j$ [/mm] für jedes $j [mm] \in \{1,\ldots n\}\,.$
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $\lim_{k \to \infty}x_k=a$, [/mm] bzw. (per Definitionem):
Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, so finden wir (zu diesem [mm] $\varepsilon$) [/mm] ein [mm] $K=K_{\varepsilon} \in \IN$ [/mm] derart, dass für alle $k [mm] \ge [/mm] K$ gilt:
[mm] $$d(x_k,a) \le \varepsilon\,.$$
[/mm]
Bzw.: Ist [mm] $d(x,a)=\|x-a\|$, [/mm] so bedeutet das:
Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, so finden wir (zu diesem [mm] $\varepsilon$) [/mm] ein [mm] $K=K_{\varepsilon} \in \IN$ [/mm] derart, dass für alle $k [mm] \ge [/mm] K$ gilt:
[mm] $$\|x_k-a\| \le \varepsilon\,.$$
[/mm]
D.h., Dein Beweis müßte nun etwa so losgehen:
"Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gegeben..."
(Und im Beweis sollte dann bei der "Berechnung"von [mm] $\|x_k-a\|=\|(x_{1,k},\ldots,x_{n,k})-(a_{1},\ldots,x_{n})\|$ [/mm] die Abhängigkeit bzgl. [mm] $|x_{1,k}-a_j|$ ($j=1,\ldots,n$) [/mm] auftauchen, damit man die Voraussetzung auch verwenden kann.)
Und was Deine Frage:
"Um zu zeigen, dass ein Folge konvergiert muss ich doch nur zeigen, dass sie beschränkt ist und ein supremum oder infimum besitzt. oder?"
betrifft:
Nein. Betrachte etwa [mm] $a_k=(-1)^k$ [/mm] als Folge in [mm] $\IR\,.$ [/mm] Diese ist nicht konvergent. Zudem solltest Du auch nicht drauf losraten, was Du tun sollst, sondern mit Definitionen oder bereits bekannten Ergebnissen arbeiten.
Und dass Deine Aussage auch nicht immer Sinn macht, solltest Du Dir schon alleine deshalb klarmachen können, weil es durchaus metrische Räume ohne Ordnungsrelation gibt. Z.B. bei [mm] $\IC$ [/mm] oder im [mm] $\IR^n$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 2$: Was ist da bitteschön das Infimum oder das Supremum einer Menge (bzw. Folge)?
P.S.:
Mache Dir das ganze oben durchaus auch mal in bekannten Räumen klar:
Betrachte den Raum [mm] $\IR^2$ [/mm] versehen mit der euklidischen Metrik. Die oben stehende Behauptung sagt dann:
Eine Folge [mm] $\{(x_{1,k},x_{2,k})\}$ [/mm] im [mm] $\IR^2$ [/mm] konvergiert genau dann gegen [mm] $a=(a_1,a_2)$, [/mm] wenn [mm] $x_{1,k} \to a_1$ [/mm] und [mm] $x_{2,k} \to a_2\,.$
[/mm]
Nur der Beweis zur Richtung [mm] "$\Leftarrow$"(ohne $\varepsilon$-Technik, [/mm] dafür aber mit Verwendung von Rechengesetzen für konvergente Folgen in [mm] $\IR$):
[/mm]
Nach Voraussetzung gilt hier nun [mm] $x_{1,k} \to a_1$ [/mm] und [mm] $x_{2,k} \to a_2\,.$
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $x_k \to [/mm] a$ bzw. [mm] $\|x_k-a\| \to 0\,.$
[/mm]
Es gilt:
[mm] $$\|x_k-a\|=\|(x_{k,1},x_{k,2})-(a_1,a_2)\|=\sqrt{(x_{k,1}-a_1)^2+(x_{k,2}-a_2)^2}\,.$$
[/mm]
Wegen [mm] $x_{k,1}-a_1 \to [/mm] 0$ und [mm] $x_{k,2}-a_2 \to [/mm] 0$ gelten [mm] $(x_{k,1}-a_1)^2 \to 0^2=0$ [/mm] und [mm] $(x_{k,2}-a_2)^2 \to 0^2=0$ [/mm] und damit auch [mm] $(x_{k,1}-a_1)^2+(x_{k,2}-a_2)^2 \to 0+0=0\,.$ [/mm] Da $x [mm] \mapsto f(x)=\sqrt{x}$ [/mm] (rechts-) stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] mit [mm] $f(0)=\sqrt{0}=0$ [/mm] ist, gilt damit auch
[mm] $$\sqrt{(x_{k,1}-a_1)^2+(x_{k,2}-a_2)^2} \to sqrt{0}=0\,,$$
[/mm]
was zu zeigen war.
P.S.:
Mit ein wenig "Eigenrecherche" findest Du den Beweis, den Du suchst, (im wesentlichen jedenfalls) übrigens z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier (Kapitel 8). Sollte der von Dir zu beweisende Satz, wie Gonozal_IX vermutet, noch allgemeiner gemeint sein, so hat Gonozal_IX Dir ja schon den Hinweis gegeben, die Äquivalenz von Normen (z. B. auf dem [mm] $\IK^n$) [/mm] zu benutzen.
Beste Grüße,
Marcel
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