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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Do 20.09.2007 | | Autor: | beta81 |
| Aufgabe | [mm] 2\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{\sin^2(qj/2)}{j^5}=\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{1-\cos^2(qj/2)+\sin^2(qj/2)}{j^5}
[/mm]
[mm] \summe_{j=1}^{\infty}\bruch{1}{j^5}
[/mm]
[mm] -\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{\cos^2(qj/2)}{j^5} [/mm] |
Hallo,
ich wuerde gern wissen, wie man auf die erste Zeile kommt? Kann mir da einer bitte helfen?
Dazu braucht man eigentlich nur zu wissen, gegen welchen Wert die zwei unteren Reihen konvergieren...
Danke!
Gruss beta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Do 20.09.2007 | | Autor: | holwo |
Hallo!
[mm] 2\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{\sin^2(qj/2)}{j^5}=\summe_{j=1}^{\infty}=\bruch{2sin^{2}(qj/2)}{j^5}=\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{sin^{2}(qj/2)+sin^{2}(qj/2)}{j^5}
[/mm]
und da [mm] sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1 [/mm] folgt [mm] sin^{2}(x)=1-cos^{2}(x) [/mm] also [mm] \summe_{j=1}^{\infty}\bruch{1-\cos^2(qj/2)+\sin^2(qj/2)}{j^5} [/mm]
meinst du das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Do 20.09.2007 | | Autor: | beta81 |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{j=1}^{\infty}\bruch{\sin(qj)}{j^5}=0 [/mm] |
Ja genau! Danke! Ich hab's einfach nicht gesehen.
Noch ne letzte Frage. Das dieser Ausdruck gleich Null ist, stimmt ja auch, da der Sinus antisymmetrisch ist, ge?
q ist irgendeine Konstante. In der Physik waere q z.B. irgendeine Wellenzahl.
Gruss beta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Do 20.09.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo beta!
Was soll denn $q_$ sein?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Do 20.09.2007 | | Autor: | beta81 |
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q ist irgendeine Konstante. In der Physik waere es z.B. irgendeine Wellenzahl.
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Hallo beta!
Im Allgemeinen ist das nicht richtig. Wähle z.B. $q = [mm] \frac{\pi}{2}$. [/mm] Dann gilt
[mm] $$\sum_{j=1}^{\infty}\frac{\sin(\frac{\pi}{2} j)}{j^5} [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^{\infty} (-1)^{j - 1} \frac{1}{(2j - 1)^5} [/mm] = 1 - [mm] \frac{1}{3^5} [/mm] + [mm] \frac{1}{5^5} [/mm] - [mm] \ldots$$
[/mm]
Diese Reihe konvergiert zwar nach dem Leibnizkriterium, aber sicherlich nicht gegen Null.
Gruß!
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