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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Di 11.12.2018 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe | | Es sei [mm] a_{n}=\bruch{3n^2+2n-3}{2n^2-3} [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Bestimmen Sie zu [mm] \varepsilon [/mm] = 0,03 eine Zahl [mm] N(\varepsilon) [/mm] so, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] >=N(\varepsilon) [/mm] gilt: [mm] |a_{n}-\bruch{3}{2}|<=\varepsilon. [/mm] |
Hallo zusammen ich hänge ein bisschen bei der Abschätzung und es wäre lieb wenn ihr mir da weiterhelfen könntet. Mein Ansatz ist der Folgende:
[mm] |\bruch{3n^2+2n-3}{2n^2-3}-\bruch{3}{2}|=\bruch{6n^2+4n-6-6n^2+9}{4n^2-6}|=|\bruch{4n+3}{4n^2-6}|
[/mm]
jetzt würde ich gerne eine Abschätzung nach oben vornehmen, so dass ich den Bruch besser zusammenfassen kann. Meine Idee war:
[mm] |\bruch{4n+3}{4n^2-6}|<|\bruch{4n+3n}{4n^2-6}|=|\bruch{7n}{4n^2-6}|
[/mm]
Aber wie gehe ich mit dem Nenner um, so das ich eine geeignete Abschätzung habe? Könnt dir mir da helfen? DANKE
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Hiho,
erstmal: Die Betragsstriche kannst du weg lassen, da für $n>1$ der Ausdruck sowieso positiv ist.
Wird der Nenner kleiner, wird der Gesamtausdruck größer, d.h. es gilt für n>3:
$ [mm] \bruch{7n}{4n^2-6} \le \bruch{7n}{4n^2-n^2} [/mm] = [mm] \bruch{7}{3n}$
[/mm]
Das bekommst du nun bestimmt kleiner als 0.03 
Gruß,
Gono
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