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| Aufgabe | | Es sei [mm] $d_k$ [/mm] eine nichtnegative Folge mit [mm] $\sum d_k=\infty$. [/mm] Was lässt sich über das Konvergenzverhalten von [mm] $\sum \frac{d_k}{1+d_k}$ [/mm] und [mm] $\sum\frac{d_k}{1+k^2d_k}$ [/mm] aussagen? |
Hallo, bei der ersten Reihe wäre ich mir relativ sicher, dass sie ebenfalls divergiert, denn es gilt ja [mm] $a_k:=d_k-\frac{d_k}{1+d_k}=\frac{d_k^2}{1+d_k}$. [/mm] Wenn [mm] $\sum \frac{d_k}{1+d_k}$ [/mm] konvergieren würde, wäre [mm] $\frac{d_k}{1+d_k}$ [/mm] Nullfolge, somit auch [mm] $d_k$. [/mm] Dann wäre aber [mm] $a_k\le \frac{d_k}{1+d_k}$, [/mm] für große $k$, das heißt es würde auch [mm] $\sum a_k$ [/mm] konvergieren und damit auch [mm] $\sum d_k=\sum a_k+\frac{d_k}{1+d_k}$.
[/mm]
Ist das richtig argumentiert? Für die zweite Reihe habe ich leider keine Idee.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hiho,
sehe keine Beanstandung bei deiner Argumentation für den ersten Teil.
Für die zweite Reihe bedenke: Für [mm] $d_k\not= [/mm] 0$ gilt [mm] $\frac{d_k}{1+k^2d_k} [/mm] = [mm] \bruch{d_k}{d_k\left(\bruch{1}{d_k} + k^2\right)} [/mm] = [mm] \frac{1}{\bruch{1}{d_k} + k^2} \le \bruch{1}{k^2}$
[/mm]
Und damit folgt für alle k:
[mm] $\frac{d_k}{1+k^2d_k} \le \bruch{1}{k^2}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 Mi 03.06.2015 | | Autor: | fred97 |
Eine Bemerkung:
Sind alle [mm] d_k>0 [/mm] , so gilt
$ [mm] \sum d_k$ [/mm] konvergiert [mm] \gdw $\sum \frac{d_k}{1+d_k} [/mm] $ konvergiert.
FRED
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Hallo Fred,
wo braucht man die zweite Bedingung? Meine Überlegung zu (ii) konvergiert [mm] $\implies$ [/mm] (i) konvergiert müsste doch immer durchgehen, oder? Und umgekehrt müsste stets [mm] $\frac{d_k}{1+d_k}\le d_k$ [/mm] gelten, also auch die andere Richtung. Oder übersehe ich etwas?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:25 Mi 03.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> wo braucht man die zweite Bedingung?
Du hast recht. Die 2. Bed. braucht man nicht. Werde es korrigieren.
FRED
> Meine Überlegung zu
> (ii) konvergiert [mm]\implies[/mm] (i) konvergiert müsste doch
> immer durchgehen, oder? Und umgekehrt müsste stets
> [mm]\frac{d_k}{1+d_k}\le d_k[/mm] gelten, also auch die andere
> Richtung. Oder übersehe ich etwas?
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:29 Mi 03.06.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
stelle gerade fest, man kann den Satz sogar noch verschärfen zu:
Sind alle $ [mm] d_k>0 [/mm] $ , so gilt
$ [mm] \sum d_k [/mm] $ konvergiert $ [mm] \gdw [/mm] $ $ [mm] \sum \frac{d_k}{1+n*d_k} [/mm] $ konvergiert für alle [mm] $n\in\IN_0$
[/mm]
bzw:
$ [mm] \sum d_k [/mm] $ konvergiert $ [mm] \gdw [/mm] $ $ [mm] \sum \frac{d_k}{1+n*d_k} [/mm] $ konvergiert für ein [mm] $n\in\IN_0$
[/mm]
Kannte ich noch nicht 
Gruß,
Gono
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