Reihe von $L^p$ Normen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Do 08.03.2012 | | Autor: | kalor |
Hallo zusammen
Leider beschäftig mich eine ziemlich (simple) Frage:
Sei [mm] \sum_{n\ge 1}\|f_n\|_p^p < \infty[/mm], dass heisst die Normen hoch $p$ konvergieren, gilt dann auch:
[mm] \sum_{n\ge 1}\|f_n\|_p < \infty[/mm]
wobei [mm] $\|\|_p$ [/mm] die übliche [mm] $L^p$-Norm [/mm] bezeichnet und [mm] $p\ge [/mm] 2$.
mfg
KalOR
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Do 08.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen
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> Leider beschäftig mich eine ziemlich (simple) Frage:
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> Sei [mm]\sum_{n\ge 1}\|f_n\|_p^p < \infty[/mm], dass heisst die
"Reihe über die..."
> Normen hoch [mm]p[/mm] konvergierten, gilt dann auch:
>
> [mm]\sum_{n\ge 1}\|f_n\|_p < \infty[/mm]
>
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> wobei [mm]\|\|_p[/mm] die übliche [mm]L^p[/mm]-Norm bezeichnet und [mm]p\ge 2[/mm].
Das wäre leider zu schön. Überlege es Dir doch erstmal "nur mit Zahlen":
Für $p > [mm] 1\,$ [/mm] ist
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$$
[/mm]
zwar konvergent (also $< [mm] \infty$), [/mm] aber
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$
[/mm]
ist alles andere als konvergent.
Wenn das eine Übungsaufgabe ist, so musst Du nur [mm] $f_n \in L^p$ [/mm] mit [mm] $\|f_n\|_p=1/n$ [/mm] finden, um zu zeigen, dass die "von Dir gefragte Folgerung i.a. NICHT gilt"!
Gruß,
Marcel
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