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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n+1}} [/mm] konvergiert, dass aber das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst nicht konvergiert. Warum ist dies der Fall? |
Hallo zusammen,
mein Beweis steht unten, und ich möchte ihn nur von euch absegnen lassen, ob auch alles richtig ist. :D
Beweis:
[mm] a_n [/mm] := [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
Offensichtlich ist [mm] (a_n) [/mm] eine monoton fallende Nullfolge. Dann folgt mit dem Konvergenzkriterium von Leibniz: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n+1}} [/mm] konvergiert.
Cauchy Produkt:
[mm] b_n [/mm] := [mm] \bruch{(-1)^n}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}c_n [/mm] wobei [mm] c_n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}b_k*b_{n-k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{\wurzel{k+1}}\bruch{(-1)^{n-k}}{\wurzel{n-k+1}} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^n}{\wurzel{(k+1)(n-k+1)}} [/mm] = [mm] (-1)^n*\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{\wurzel{(k+1)(n-k+1)}}
[/mm]
Behauptung: [mm] (c_n) [/mm] keine Nullfolge. Daraus kann man dann folgern, dass die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_n [/mm] nicht konvergiert.
Es ist: [mm] |c_n| [/mm] = [mm] |(-1)^n*\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{\wurzel{(k+1)(n-k+1)}}| [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{\wurzel{(k+1)(n-k+1)}}
[/mm]
Es gilt: [mm] |c_n| [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{\wurzel{(k+1)(n-k+1)}} \ge \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{\wurzel{(n+1)(n+1)}} [/mm] = (n+1) * [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] = 1 für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \Rightarrow (|c_n|) [/mm] keine Nullfolge
[mm] \Rightarrow (c_n) [/mm] keine Nullfolge
[mm] \Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}c_n [/mm] konvergiert nicht.
Warum ist dies der Fall?
Antwort: Dies liegt daran, dass [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_n [/mm] nicht absolut konvergent ist, da [mm] \summe_{n=0}^{\infty}|b_n| [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] = [mm] +\infty [/mm] (verallgemeinerte harmonische Reihe)
[mm] \Box
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:40 Do 20.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Alles richtig
FRED
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Alles klar. Danke!
Grüsse
Alexander
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