Reihe normal konvergent < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:35 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich habe hier im Kapitel " Potenzreihen " eine Bemerkung entdeckt, zu der ich Fragen hätte. Es handelt sich dabei um normal konvergente Reihen.
Bemerkung :
Hierbei sei [mm] f_n : X \to \mathbb C [/mm] eine Abbildung und X ein metrischer Raum.
1. Wenn die Reihe [mm] \summe_n f_n [/mm] normal konvergiert, so konvergiert für jedes [mm] x \in X [/mm] die Reihe [mm] \summe f_n (x) [/mm] absolut.
( Warum ist das so? Die Erklärung soll irgendwie mit dem Majorantenkriterium erfolgen ...
Wenn ich das richtig sehe, dann ist eine Reihe normal konvergent, wenn für jedes x eine Umgebung A existiert, so dass alle [mm] f_n [/mm] eingeschränkt auf das A beschränkt sind und [mm] \summe f_n|_A [/mm] konvergiert. Muss man das hier für jedes x einzeln betrachten? )
2. Wenn die Reihe noral konvergiert, so hat jedes x eine Umgebung A, so dass die Reihe [mm] \summe f_n|_A [/mm] gleichmäßig konvergiert.
( Muss A nicht kompakt sein? Denn Potenzreihen konvergieren doch nur auf kompakten Teilmengen absolut und gleichmäßig , oder? )
3.Wenn die Reihe stetiger Funktionen normal gegen f konvergiert, so ist f stetig.
( Ist das weil die nach b) dann auch gleichmäßig konvergiert und bei gleichmäßig konvergenten Reihen stetiger Funktionen auch die Summe stetig ist? )
4. Ist X offene ( oder abgeschlossene) Teilemge von [mm] \mathbb R^n [/mm], so konvergiert die Reihe [mm] \summe f_n [/mm] genau dann normal, wenn für jede kompakte Teilmenge K von X die Reihe
[mm] \summe f_n|_K [/mm] gleichmäßig und absolut konvergiert.
( Ist das so eine Kombination aus 1) und absoluter Konvergent auf kompakten Teilmengen, wobei in der einen Richtung einfach A als K zu sehen ist? Die andere Richtung [mm] \Leftarrow [/mm] sehe ich noch nicht ... )
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Framl |
> Guten Abend!
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> Ich habe hier im Kapitel " Potenzreihen " eine Bemerkung
> entdeckt, zu der ich Fragen hätte. Es handelt sich dabei um
> normal konvergente Reihen.
>
> Bemerkung :
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> Hierbei sei [mm]f_n : X \to \mathbb C[/mm] eine Abbildung und X ein
> metrischer Raum.
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> 1. Wenn die Reihe [mm]\summe_n f_n[/mm] normal konvergiert, so
> konvergiert für jedes [mm]x \in X[/mm] die Reihe [mm]\summe f_n (x)[/mm]
> absolut.
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> ( Warum ist das so? Die Erklärung soll irgendwie mit dem
> Majorantenkriterium erfolgen ...
> Wenn ich das richtig sehe, dann ist eine Reihe normal
> konvergent, wenn für jedes x eine Umgebung A existiert, so
> dass alle [mm]f_n[/mm] eingeschränkt auf das A beschränkt sind und
> [mm]\summe f_n|_A[/mm] konvergiert. Muss man das hier für jedes x
> einzeln betrachten? )
Eine Reihe heißt normal konvergent, wenn [mm] $\forall [/mm] x$ eine Umgebung $U$ existiert, auf der die Reihe [mm] $\sum ||f_n||_U$ [/mm] konvergiert, wobei [mm] $||\:\cdot \:||_U$ [/mm] das Supremum der Funktionswerte aller $x$ aus $U$ bezeichnet. Damit ist absolute Konvergenz ein schwächerer Begriff, da immer gilt
[mm] $|f(x)|\leq \sup [/mm] |f(x)|$. Damit hast du mit [mm] $\sum |f_n|_U$ [/mm] eine konv. Majorante gefunden.
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> 2. Wenn die Reihe noral konvergiert, so hat jedes x eine
> Umgebung A, so dass die Reihe [mm]\summe f_n|_A[/mm] gleichmäßig
> konvergiert.
>
> ( Muss A nicht kompakt sein? Denn Potenzreihen konvergieren
> doch nur auf kompakten Teilmengen absolut und gleichmäßig ,
> oder? )
A ist eine [mm] \underline{Umgebung}, [/mm] die sind von Natur aus offen  Wenn Potenzreihen nur auf kompakten Teilmengen abs. und glm. konvergieren würden, würde die beiden Aussagen oben keinen Sinn ergeben.
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> 3.Wenn die Reihe stetiger Funktionen normal gegen f
> konvergiert, so ist f stetig.
>
> ( Ist das weil die nach b) dann auch gleichmäßig
> konvergiert und bei gleichmäßig konvergenten Reihen
> stetiger Funktionen auch die Summe stetig ist? )
>
Ja.
> 4. Ist X offene ( oder abgeschlossene) Teilemge von [mm]\mathbb R^n [/mm],
> so konvergiert die Reihe [mm]\summe f_n[/mm] genau dann normal, wenn
> für jede kompakte Teilmenge K von X die Reihe
> [mm]\summe f_n|_K[/mm] gleichmäßig und absolut konvergiert.
>
Ist mit [mm] $f_n|_K$ [/mm] das Supremum der Funktionswerte für [mm] $x\in [/mm] K$ gemeint? Dann existiert für jedes [mm] $x\in [/mm] X$ eine Umgebung [mm] $U\subset [/mm] K$. Es gilt damit [mm] $f_n|_U\leq f_n|_K$. [/mm] Da schon [mm] $\sum f_n|_K$ [/mm] nach Vor. konvergiert, konvergiert auch [mm] $\sum f_n|_U$, [/mm] d.h. normale Konvergenz.
> ( Ist das so eine Kombination aus 1) und absoluter
> Konvergent auf kompakten Teilmengen, wobei in der einen
> Richtung einfach A als K zu sehen ist? Die andere Richtung
> [mm]\Leftarrow[/mm] sehe ich noch nicht ... )
>
Für normale Konvergenz [mm] $\Rightarrow [/mm] ...$ würde ich das so machen:
Da K Kompakt, besitzt jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung. Bezeichnen wir diese mit [mm] $U_i$, [/mm] $i=1,...,n$. Wähle [mm] $U_i$ [/mm] so, dass die Reihe auf den [mm] $U_i$ [/mm] konvergiert. Dann ist das Supremum auf $K$ gegeben durch [mm] $\max\{\sup\{U_1\},....,sup\{U_n\}\}$. [/mm] Da nach Vor. die Reihe für alle [mm] $U_i$ [/mm] konvergiert (damit meine ich [mm] $\sum |f_n|_{U_i}$ [/mm] konv.) konvergiert sie auch für [mm] $\sum |f_n|_K$. [/mm] Damit folgt auch abs. konvergenz.
Hier bin ich mir nicht ganz so sicher, deßhalb auch nur eine "halbe" Antwort. Gerade bei der Existenz der [mm] $U_i$ [/mm] bin ich mir nicht ganz so sicher.
Aber: Du kannst nicht einfach $A=K$ setzen, denn das eine ist eine Umgebung, dass andere eine kpt. Menge.
Gruß Framl
> Vielen Dank für die Hilfe!
>
> Viele Grüße
> Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 Fr 08.08.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Framl,
wer sagt, denn, dass Umgebungen von "Natur aus offen sind" ????
ist denn [-1,1] keine Umgebung von 0 ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:28 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Framl |
> Hallo Framl,
>
> wer sagt, denn, dass Umgebungen von "Natur aus offen sind"
> ????
>
> ist denn [-1,1] keine Umgebung von 0 ?
>
> FRED
Hallo Fred,
ich war der Meinung, dass es sich bei diesem Satz um offene Umgebungen handelt. Wenn das nicht der Fall ist, endtschuldige ich mich bei Irmchen und allen Lesern.
Gruß Framl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Framl |
> Für normale Konvergenz [mm]\Rightarrow ...[/mm] würde ich das so
> machen:
>
> Da K Kompakt, besitzt jede offene Überdeckung eine endliche
> Teilüberdeckung. Bezeichnen wir diese mit [mm]U_i[/mm], [mm]i=1,...,n[/mm].
> Wähle [mm]U_i[/mm] so, dass die Reihe auf den [mm]U_i[/mm] konvergiert. Dann
> ist das Supremum auf [mm]K[/mm] gegeben durch
> [mm]\max\{\sup\{U_1\},....,sup\{U_n\}\}[/mm]. Da nach Vor. die Reihe
> für alle [mm]U_i[/mm] konvergiert (damit meine ich [mm]\sum |f_n|_{U_i}[/mm]
> konv.) konvergiert sie auch für [mm]\sum |f_n|_K[/mm]. Damit folgt
> auch abs. konvergenz.
>
> Hier bin ich mir nicht ganz so sicher, deßhalb auch nur
> eine "halbe" Antwort. Gerade bei der Existenz der [mm]U_i[/mm] bin
> ich mir nicht ganz so sicher.
>
> Aber: Du kannst nicht einfach [mm]A=K[/mm] setzen, denn das eine ist
> eine Umgebung, dass andere eine kpt. Menge.
>
> Gruß Framl
>
> > Vielen Dank für die Hilfe!
> >
> > Viele Grüße
> > Irmchen
>
Nochmal zur Existenz:
Für jedes [mm] $x\in [/mm] K$ existiert nach Vor. ein $U$ mit den entspr. Eigenschaften. Diese $U$ bilden natürlich eine Übdeckung von $K$. Da $K$ kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung dieser $U$'s.
Das würde die Existenz begründen...
Gruß Framl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Mo 11.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Guten Abend!
>
> Ich habe hier im Kapitel " Potenzreihen " eine Bemerkung
> entdeckt, zu der ich Fragen hätte. Es handelt sich dabei um
> normal konvergente Reihen.
>
> Bemerkung :
>
> Hierbei sei [mm]f_n : X \to \mathbb C[/mm] eine Abbildung und X ein
> metrischer Raum.
>
> 1. Wenn die Reihe [mm]\summe_n f_n[/mm] normal konvergiert, so
> konvergiert für jedes [mm]x \in X[/mm] die Reihe [mm]\summe f_n (x)[/mm]
> absolut.
>
> ( Warum ist das so? Die Erklärung soll irgendwie mit dem
> Majorantenkriterium erfolgen ...
> Wenn ich das richtig sehe, dann ist eine Reihe normal
> konvergent, wenn für jedes x eine Umgebung A existiert, so
> dass alle [mm]f_n[/mm] eingeschränkt auf das A beschränkt sind und
> [mm]\summe f_n|_A[/mm] konvergiert. Muss man das hier für jedes x
> einzeln betrachten? )
>
> 2. Wenn die Reihe noral konvergiert, so hat jedes x eine
> Umgebung A, so dass die Reihe [mm]\summe f_n|_A[/mm] gleichmäßig
> konvergiert.
>
> ( Muss A nicht kompakt sein? Denn Potenzreihen konvergieren
> doch nur auf kompakten Teilmengen absolut und gleichmäßig ,
> oder? )
Nein, A könnte ja auch eine nicht kompakte echte Teilmenge einer kompakten Menge sein, zum Beispiel das Innere einer kompakten Menge.
Zur Frage selber: es ist wieder nur die Anwendung der Supremumsnorm. Gleichmäßige Konvergenz der Reihe bedeutet doch, dass für die Grenzfunktion f(x) der Ausdruck
[mm] \sup_x \left|f(x) - \summe_{n=0}^{k} f_n(x)\right| = \sup_x\left|\summe_{n=k+1}^{\infty} f_n(x) \right|[/mm]
für [mm] $k\to\infty$ [/mm] gegen 0 geht.
Mit der Dreiecksungleichung ist aber
[mm] \sup_x\left|\summe_{n=k+1}^{\infty} f_n(x) \right| \le \summe_{n=k+1}^{\infty} \sup_x |f_n(x)| = \summe_{n=k+1}^{\infty} \|f_n\| [/mm],
und die rechte Seite geht nach Voraussetzung (normale Konvergenz) gegen 0.
Viele Grüße
Rainer
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