Reihe holomorpher Fkt.-nen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Mi 10.12.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Verifizieren Sie, dass durch
[mm] $f(z):=\sum_{n=0}^{\infty}3^{-n}(z^n+z^{-n})$
[/mm]
auf [mm] $\left\{z\in\mathbb{C}| 1/3<|z|<3\right\}$ [/mm] eine holomorphe Funktion dargestellt wird, und geben Sie eine Reihendarstellung von $f'$ an. |
Hallo zusammen,
wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp zur obigen Aufgabe geben könnte. Ich vermute mal, dass die Holomorphie der Grenzreihe mit Hilfe des Weierstraßschen Summensatzes gezeigt werden soll. Die einzelnen Glieder sind holomorph auf dem Bereich [mm] $\left\{z\in\mathbb{C}| 1/3<|z|<3\right\}$, [/mm] nur der Beweis der kompakten Konvergenz der Reihe gelingt mir bisher noch nicht.
Vielen Dank für Eure Tipps und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Mi 10.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Für die kompakte Konvergenz genügt es zu zeigen:
Die Reihe konvergiert auf K : = {z: r [mm] \le [/mm] |z| [mm] \le [/mm] R} gleichmäßig, wobei 1/3 <r<R <3.
Sei also z [mm] \in [/mm] K. [mm] |1/3^n(z^n+z^{-n})| \le 1/3^n(|z|^n+\bruch{1}{|z|^n}) \le1/3^n(R^n+1/r^n) [/mm] = [mm] (R/3)^n +(\bruch{1}{3r})^n
[/mm]
Weiter ist R/3 <1 und [mm] \bruch{1}{3r}<1
[/mm]
Reicht das ?
FRED
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