Reihe divergent < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Di 06.05.2014 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{n}}{n!} \cdot (\bruch{1}{e})^{n} [/mm] |
Hallo,
ich möchte gerne wissen wie ich zeige, dass obige Reihe divergiert.
Habe bereits versucht zu zeigen, dass die Folge der Reihe keine Nullfolge ist. Leider vergebens.
Desweiteren habe ich Quotientenkriterium probiert. Kommt leider 1 raus.
Habe auch Majoranten- und Minorantenkriterium ausprobiert. Leider auch vergeblich gescheitert.
Bin mit meinem Latein am ende.... Kann mir jemand helfen???
Danke.
Grüße
Ali
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Hallo Ali!
Wenn Du für $n!_$ die ![[]](/images/popup.gif) Stirling-Formel anwenden darfst, kannst Du am Ende gut abschätzen.
Es gilt für große $n_$ : $n! \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] \wurzel{2*\pi*n}*\left(\bruch{n}{\mathrm{e}}\right)^n$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Di 06.05.2014 | | Autor: | piriyaie |
Woah super! Danke für den Tipp.
Aber dann eingesetzt ist die Folge meiner Reihe eine Nullfolge :-(
Und das bringt mir bekanntlich ja nix :-(
Jetzt brauche ich nochmal einen Tipp, wie ich die divergenz zeigen kann. Weil die Folge meiner Reihe ist eine Nullfulge und daraus kann ich ja NICHT folgern, dass meine Reihe konvergiert :-(.
Die Reihe divergiert. Da bin ich mir ganz sicher. Aber wie zeige ich das nun???
Es gilt ja:
[mm] \limes_{n \rightarrow \infty} \bruch{n^{n}}{n!} \cdot (\bruch{1}{e})^{n} \approx \limes_{n \rightarrow \infty} \bruch{n^{n}}{\wurzel{2 \cdot n \cdot \pi} \cdot (\bruch{n}{e})^{n}} \cdot (\bruch{1}{e})^{n} [/mm] = ... = 0
:-(
Und nun???
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hiho,
> Aber dann eingesetzt ist die Folge meiner Reihe eine
> Nullfolge :-(
> Und das bringt mir bekanntlich ja nix :-(
Stimmt. Aber welche Reihe kommt denn dann raus, wenn du die Stirling-Formel einsetzt?
Denk die Sachen doch mal konsequent zu Ende....
Gruß,
Gono.
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