Reihe auf Konvergenz untersuch < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | Untersuchen sie folgende Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{n+a}{n})^{n^{2}} [/mm] |
Ich denke mal man kann die Reihe einfach mithilfe des Wurzelkriteriums auf Konvergenz untersuchen.
Also | [mm] \wurzel[n]{(\bruch{n+a}{n})^{n^{2}}}|
[/mm]
= [mm] (\bruch{n+a}{n})^{n}
[/mm]
= [mm] (1+\bruch{a}{n})^{n}
[/mm]
Dieser Term erinnert mich doch stark an den Term der gegen e konvergiert, also [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n}
[/mm]
Kann man dann sagen, dass der Ausdruck gegen [mm] e^{a} [/mm] konvergiert ?
Wenn ja, dann wäre die Reihe ja absoult Konvergent.
Vielen dank schonmal.
mfg. Joker08 
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Hallo Joker08,
> Untersuchen sie folgende Reihe auf Konvergenz:
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{n+a}{n})^{n^{2}}[/mm]
> Ich denke
> mal man kann die Reihe einfach mithilfe des
> Wurzelkriteriums auf Konvergenz untersuchen.
Guter Plan!
>
> Also | [mm]\wurzel[n]{(\bruch{n+a}{n})^{n^{2}}}|[/mm]
>
> = [mm](\bruch{n+a}{n})^{n}[/mm]
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> = [mm](1+\bruch{a}{n})^{n}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dieser Term erinnert mich doch stark an den Term der gegen
> e konvergiert, also [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
>
> Kann man dann sagen, dass der Ausdruck gegen [mm]e^{a}[/mm]
> konvergiert ?
Jo!
>
> Wenn ja, dann wäre die Reihe ja absoult Konvergent.
Obacht, das gilt doch nur für solche a, für die [mm]e^{a}<1[/mm] ist!
Für [mm]e^{a}>1[/mm] sagt das WK, dass die obige Reihe divergent ist, für [mm]e^{a}=1[/mm] liefert es keine Aussage, das müsstest du ggfs. separat untersuchen ...
Was ja ein Klacks ist ...
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> Vielen dank schonmal.
> mfg. Joker08
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Joker08 |
Stimmt da hab ich so jetz noch garnicht drüber nachgedacht, das es nicht direkt für alle a gilt, sondern nur für a<0.
Aber stimmt schwer ist das nicht.
Vielen dank :)
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