Reihe auf Konvergenz prüfen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{i^{2}}{2^{i}} [/mm] |
Hallo,
zunächst einmal muss ich sagen, das ich mir garnicht sicher bin, ob ich die Forumkategorie richtig gewählt habe. Hoffe es handelt sich um reelle Analysis.
So. Nun meine frage. Wie zu sehen ist soll die Reihe auf Konvergenz geprüft werden.
Ich habe es mit dem Wurzelkriterium probiert, wodurch ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[i]{\bruch{i^{2}}{2^{i}}}
[/mm]
erhalte, wenn ich einsetze.
und das ist ja denn
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[i]{i^{2}}}{2}
[/mm]
oder?
in meiner lösung steht aber
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[i]{\bruch{i^{2}}{2^{i}}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[i]{\bruch{i^{2}}{2}}}{2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
und somit konvergent.
Kann mir das jemand erklären was ich falsch gemacht habe. Oder muss ein anderes Kriterium gewählt werden?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo joker1223 und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
lasse bei der Eingabe der Einfachheit halber die [ mm ] und [ / mm ] weg und setze stattdessen Dollarzeichen an den Anfang und an das Ende eines math. Ausdrucks.
Sonst ist das mit dem Zitieren manchmal schwierig, ich musste etliches ausbessern ...
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{i^{2}}{2^{i}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hallo,
> zunächst einmal muss ich sagen, das ich mir garnicht
> sicher bin, ob ich die Forumkategorie richtig gewählt
> habe. Hoffe es handelt sich um reelle Analysis.
Es sieht danach aus 
>
> So. Nun meine frage. Wie zu sehen ist soll die Reihe auf
> Konvergenz geprüft werden.
>
> Ich habe es mit dem Wurzelkriterium probiert, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gute Idee! Das Quotientenkrit. funktioniert genauso gut
> wodurch ich
>
> $\limes_{\red{n}\rightarrow\infty}\wurzel[i]{\bruch{i^{2}}{2^{i}}}$ erhalte, wenn ich einsetze.
Du solltest konsequent bei einer Variable bleiben! Du meinst $\lim\limits_{\red{i}\to\infty}\ldots$
> und das ist ja denn
> $\limes_{\red{i}\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[i]{i^{2}}}{2}}$
> in meiner lösung steht aber
> $\limes_{\red{i}\rightarrow\infty}\wurzel[i]{\bruch{i^{2}}{2^{i}}}=\limes_{\red{i}\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[i]{\bruch{i^{2}}{\blue{2}}}}{2}$
Naja, die Grenzwerte sind zwar gleich, daber den Nenner $\blue{2}$ haben die wohl dahin gemogelt. Das brauchst du überhaupt nicht ...
> $=\bruch{1}{2}$
> und somit konvergent.
> Kann mir das jemand erklären was ich falsch gemacht habe.
Gar nichts, bei deiner Rechnung ist alles bestens, du musst nur zuende rechnen, was ist denn im Zähler?
$\lim\limits_{i\to\infty}\sqrt[i]{i^2}=\ldots$ ?
Überlege dir das mal, dann hast du $\lim\limits_{i\to\infty}\frac{\sqrt[i]{i^2}}{2}=\frac{1}{2}\cdot{}\lim\limits_{i\to\infty}{\sqrt[i]{i^2}=\frac{1}{2}\cdot{}\ldots$
> Oder muss ein anderes Kriterium gewählt werden?
Nein, passt schon (aber der Übung halber könntest du den ganzen Spaß nochmal mit dem QK überprüfen ...)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen nternetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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[mm] $\limes_{i\rightarrow\infty}\wurzel[i]{i^{2}}$ [/mm] geht doch gegen 0 oder?
also somit ist doch denn [mm] $\bruch{1}{2}*\limes_{i\rightarrow\infty}\wurzel[i]{i^{2}}=\bruch{1}{2}*0=0$ [/mm] oder?
oder muss ich da das i gegenseitig kürzen, sodass [mm] $\wurzel[i]{i^{2}}=\wurzel[1]{1^{2}}=1$ [/mm] ?
Gruß
Joker1223
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Sa 07.08.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm] \limes_{i\rightarrow\infty}\wurzel[i]{i^{2}}
[/mm]
> geht doch gegen 0 oder?
Nein.
> also somit ist doch denn
> [mm] \bruch{1}{2}*\limes_{i\rightarrow\infty}\wurzel[i]{i^{2}}=\bruch{1}{2}*0=0
[/mm]
> oder?
Dementsprechend auch nicht
> oder muss ich da das i gegenseitig kürzen, sodass
> [mm] \wurzel[i]{i^{2}}=\wurzel[1]{1^{2}}=1?
[/mm]
Das ist eine grässlich falsche Umformung.
Schreibe mal um:
[mm] \wurzel[i]{i^{2}}
[/mm]
[mm] \left(i^{2}\right)^{\bruch{1}{i}}
[/mm]
Alternativ
[mm] \wurzel[i]{i^{2}}
[/mm]
[mm] =\left(\wurzel[i]{i}\right)^{2}
[/mm]
Überlege mal, welche Speziellen Reihengrenzwerte du kennst, und welche man dann hier nutzen könnte.
Marius
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muss ich leider passen.
was sind spezielle reihengrenzwerte? beschäftige mich mit dem thema noch nicht so lange.
gruß
joker1223
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Hallo nochmal,
ihr habt in der VL mit Sicherheit zu Beginn der ganzen GW-Geschichte gezeigt, dass [mm] $\lim\limits_{i\to\infty}\sqrt[i]{i}=1$ [/mm] ist.
Außerdem hast du die GW-Sätze zur Verfügung.
Es ist [mm] $1=\blue{1}\cdot{}\green{1}=\blue{\lim\limits_{i\to\infty}\sqrt[i]{i}}\cdot{}\green{\lim\limits_{i\to\infty}\sqrt[i]{i}}=\left(\lim\limits_{i\to\infty}\sqrt[i]{i}\right)^2=\lim\limits_{i\to\infty}\left(\sqrt[i]{i}\right)^2=\lim\limits_{i\to\infty}\sqrt[i]{i^2}$ [/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Sa 07.08.2010 | | Autor: | joker1223 |
Hallo,
jetzt hats klick gemacht.
besten dank.
gruß
joker1223
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