Reihe/Gleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
sei [mm] s_{n}:= \summe_{k=1}^{n}sinkx
[/mm]
Es gilt für [mm] m\ge [/mm] n>0
[mm] |\summe_{k=n}^{m}\bruch{sinkx}{k}|=
[/mm]
[mm] |\summe_{k=n}^{m}\bruch{s_{k}(x)-s_{k-1}(x)}{k}|=
[/mm]
[mm] |\summe_{k=n}^{m}s_{k}(x)(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1})+\bruch{s_{m}(x)}{m+1}-\bruch{s_{n-1}(x)}{n}|.
[/mm]
Mir ist nicht klar, warum die zweite Gleichung gilt.
Der Summand auf der rechten Seite sieht nicht trivial aus. ;)
Ich weiß nicht, wie ich diesen leicht vereinfachen kann.
Gruss
Igor
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo Igor,
> Hallo,
>
> sei [mm]s_{n}:= \summe_{k=1}^{n}sinkx[/mm]
>
> Es gilt für [mm]m\ge[/mm] n>0
> [mm]|\summe_{k=n}^{m}\bruch{sinkx}{k}|=[/mm]
> [mm]|\summe_{k=n}^{m}\bruch{s_{k}(x)-s_{k-1}(x)}{k}|\red{=}[/mm]
>
> [mm]|\summe_{k=n}^{m}s_{k}(x)(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1})+\bruch{s_{m}(x)}{m+1}-\bruch{s_{n-1}(x)}{n}|.[/mm]
>
> Mir ist nicht klar, warum die zweite Gleichung gilt.
> Der Summand auf der rechten Seite sieht nicht trivial aus.
> ;)
> Ich weiß nicht, wie ich diesen leicht vereinfachen kann.
es geht also um das rote =?
Es gilt
[mm]\left|\sum_{k=n}^m\frac{s_k -s_{k-1}}{k}\right|=\left|\sum_{k=n}^m \frac{s_k}{k}-\sum_{k=n}^m \frac{s_{k-1}}{k}\right|[/mm]
jetzt wurde bei der zweiten Summe der Index verschoben, damit [mm]s_k[/mm] statt [mm]s_{k-1}[/mm] dasteht
[mm]=\left|\sum_{k=n}^m \frac{s_k}{k}-\sum_{k=n-1}^{m-1} \frac{s_{k}}{k+1}\right|[/mm]
jetzt passt man die Grenzen der zweiten Summe so an, dass man beide zusammenfassen kann. Dabei macht man aber einen Fehler, der durch die zwei zusätzlichen Terme ausgeglichen wird:
[mm]=\left|\sum_{k=n}^m \frac{s_k}{k}-\sum_{k=n}^{m} \frac{s_{k}}{k+1}+\frac{s_m}{m+1}-\frac{s_{n-1}}{n}\right|[/mm]
Beachte, dass die letzten beiden Terme nicht in der Summe stehen.
Fasse nun die beiden Summen zusammen und du hast deine Gleichung.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Fulla,
vielen Dank für die gute Erklärung !
Gruss
Igor
|
|
|
|
