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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Mi 30.01.2013 | | Autor: | Rubikon |
Hallo,
meine Frage bezieht sich auf die Reihendarstellung der Exponentailfunktion.
Es gilt: [mm] e^x [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{x^i}{i!} [/mm] für alle [mm] z\in\IC
[/mm]
Was passiert alledings wenn man Null für x einsetzt? Dann muss die Reihe
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] 0 gegen eins konvergieren und das tut sie auch wenn ich mir das Ganze mit der geometrischen Reihe verdeutliche. Nur bin ich nun auf ein Beispiel gestoßen bei der eine Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] 0 gegen 0 konvergieren müsste. Was ist denn nun richtig?
Gruß Rubikon
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Hallo rubikon,
nun setzen wir doch einfach mal x=0 ein. Wir erhalten so:
[mm] e^0=1, [/mm] sowie [mm] \sum_{i=0}^{\infty}\frac{0^i}{i!}=1+0+0+..., [/mm] denn [mm] 0^0=1
[/mm]
Ich denke, dass war genau dein Problem.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Mi 30.01.2013 | | Autor: | Rubikon |
Hallo,
ja war es. Vielen Dank ;).
Gruß
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Hallo,
ich möchte die Antwort von Richie um zwei kleine, aber in meinen Augen wichtige Anmerkungen ergänzen. In der Schule hat man vor allem früher gelernt, dass der Ausdruck [mm] 0^0 [/mm] undefiniert sei. Er tritt ja im ersten Summanden auf. Im Zusammenhang mit der Funktion
[mm] f(x)=x^x
[/mm]
allerdings, deren Grenzwert für x->0 gleich 1 ist, definiert man heutzutage
[mm] 0^0:=1
[/mm]
sowie (schon immer)
0!:=1
Das ist die ausführliche Erklärung, warum in der Potenzreiehe der Exponentialfunktion an der Stelle x=0 der erste Summand gleich 1, alle anderen aber natürlich gleich Null sind.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mi 30.01.2013 | | Autor: | Rubikon |
Hallo,
auch dir danke ich. Eine Frage noch:
Wie beweist man denn, dass besagter Grenzwert von f(x) = 1 ist. Wir haben die Allgemeine Exponentialfunktion über die Exponentialfunktion definiert.
Wenn man die Funktion jetzt in Exponentialschreibweise bringt, dann hat man doch aber ein Problem den Grenzwert hierrüber zu bestimmen. Über die Stetigkeit von log und exp kann man ja nicht argumentieren, weil der Logarithmus für x=0 undefiniert ist.
Ich könnte mir aber vorstellen zu beweisen, dass [mm] 0^0=1 [/mm] indem ich die geometrische summe auf [mm] \summe_{i=0}^{n} 0^k [/mm] anwende.
Gruß
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Hallo,
> Hallo,
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> auch dir danke ich. Eine Frage noch:
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> Wie beweist man denn, dass besagter Grenzwert von f(x) = 1
> ist. Wir haben die Allgemeine Exponentialfunktion über die
> Exponentialfunktion definiert.
Vorsicht: [mm] f(x)=x^x [/mm] ist keine Exponentialfunktion (ich weiß gar nicht, ob sie irgendeinen offiziellen Namen hat).
> Wenn man die Funktion jetzt in Exponentialschreibweise
> bringt, dann hat man doch aber ein Problem den Grenzwert
> hierrüber zu bestimmen. Über die Stetigkeit von log und
> exp kann man ja nicht argumentieren, weil der Logarithmus
> für x=0 undefiniert ist.
>
> Ich könnte mir aber vorstellen zu beweisen, dass [mm]0^0=1[/mm]
> indem ich die geometrische summe auf [mm]\summe_{i=0}^{n} 0^k[/mm]
> anwende.
Nein, die Reihe der Exponentialfunktion kannst du darauf (zunächst) auch nicht anwenden. Ich würde es so machen:
Zunächst einmal nicht die Funktion f sondern ihren Logarithmus untersuchen:
[mm] ln(f(x))=ln\left(x^x\right)=x*ln(x)=\bruch{ln(x)}{\bruch{1}{x}}
[/mm]
Und das kann man dann per einmaliger Anwendung von de l'Hospital auswerten, das strebt für x->0 ebenfalls gegen Null.
Wenn nun aber [mm] ln(f(x_0))=0 [/mm] gilt, dann folgt [mm] f(x_0)=1 [/mm] und das ist eben der gesuchte Grenzwert.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Mi 30.01.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Diophant,
> Hallo,
>
> > Hallo,
> >
> > auch dir danke ich. Eine Frage noch:
> >
> > Wie beweist man denn, dass besagter Grenzwert von f(x) = 1
> > ist. Wir haben die Allgemeine Exponentialfunktion über die
> > Exponentialfunktion definiert.
>
>
> Vorsicht: [mm]f(x)=x^x[/mm] ist keine Exponentialfunktion (ich weiß
> gar nicht, ob sie irgendeinen offiziellen Namen hat).
Man nennt [mm] x^x [/mm] einen Potenzturm der Ordnung 2 (im Engl.: "Power Tower").
Man schreibt dann auch [mm] x\uparrow\uparrow{2}, [/mm] oder allgemein eben
[mm] x\uparrow\uparrow{k} [/mm] für [mm] \underbrace{x^{x^{x^{...}}}}_{k\ mal\ x}
[/mm]
Betrachtet man die Funktion, dann heißt [mm] f(x)=x^x [/mm] eventll. Potenzturmfunktion. ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Mi 30.01.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Diophant,
ich fühle mich geehrt, aber ich schenke ihn dir gerne ;)
Aber vielleicht bleibt der Potenzturm durch das Witzeln im Kopf hängen. Euler hat auch interessante Beiträge dazu erbracht. Sehr interessante Sachen, die leider immer nur als kurze Nebenbemerkung einer Vorlesung Platz finden...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Mi 30.01.2013 | | Autor: | Rubikon |
Hallo,
ok, danke. Gefällt mir.
Hab grade noch mal in unseren Beweis von der allgemeinen Geometrischen Summe reingeschauht. Wir hatten dort auch verwendet, dass [mm] a^0=1 [/mm] gilt.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:40 Mi 30.01.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Gefällt mir.
Klase: jetzt bekommt man im MatheRaum auch schon Likes. 
Gruß, Diophant
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