Reihe/Differenzieren/Vertausch < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 So 28.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] = [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IK [/mm] = [mm] \IC [/mm] .
Für A [mm] \in M_{n \times n } (\IK) [/mm] zeige dass,
[mm] \frac{d}{dt} e^{tA} [/mm] = A [mm] e^{tA} [/mm] |
[mm] \frac{d}{dt} e^{tA} [/mm] = [mm] \frac{d}{dt} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} t^k A^k
[/mm]
So nun ist meine Frage darf ich das Differenzieren und die Reihe vertauschen?
In meinen ANA-Unterlagen steht: [mm] \frac{1}{k!} t^k A^k [/mm] muss punktweise konvergent und die Ableitung muss gleichmäßig konvergent sein.
In einen anderen Skriptum steht ich darf hier vertauschen weil die Reihe absolut konvergiert?
Nun bin ich verwirrt.Was muss ich den jetzt zeigen, damit ich vertauschen kann?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 So 28.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Lu,
> Sei [mm]\IK[/mm] = [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IK[/mm] = [mm]\IC[/mm] .
> Für A [mm]\in M_{n \times n } (\IK)[/mm] zeige dass,
> [mm]\frac{d}{dt} e^{tA}[/mm] = A [mm]e^{tA}[/mm]
> [mm]\frac{d}{dt} e^{tA}[/mm] = [mm]\frac{d}{dt} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} t^k A^k[/mm]
>
> So nun ist meine Frage darf ich das Differenzieren und die
> Reihe vertauschen?
> In meinen ANA-Unterlagen steht: [mm]\frac{1}{k!} t^k A^k[/mm] muss
> punktweise konvergent und die Ableitung muss gleichmäßig
> konvergent sein.
> In einen anderen Skriptum steht ich darf hier vertauschen
> weil die Reihe absolut konvergiert?
> Nun bin ich verwirrt.Was muss ich den jetzt zeigen, damit
> ich vertauschen kann?
Du mußt auf jeden Fall die punktweise Konvergenz gegen [mm] $e^{tA}$ [/mm] zeigen. Und dann hast Du die Wahl: Gleichmäßige Konvergenz auf einem Intervall $[-r; r]$ für ein $r > |t|$ oder absolute Konvergenz an der Stelle $r$ mit [mm] $r>|t|\;.$ [/mm] In Ana1 ist das gleichwertig.
Aber eigentlich brauchst Du die "normale" Konvergenz, d. h. die Konvergenz der Reihe [mm] $\sum a_k$, [/mm] wobei [mm] $a_k [/mm] = [mm] \sup \bigl\{\|t^k A^k/k!\| \colon t\in [-r; r]\bigr\}\;.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 So 28.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
Ich bin mir nicht sicher ob ich das nun richtig gemacht habe:
Zuzeigen ist das der Grenzwert existiert: [mm] lim_{N->\infty} \sum_{k=0}^N [/mm] 1/k! [mm] A^k
[/mm]
Ich will zeigen dass [mm] S_N =\sum_{k=0}^N [/mm] 1/k! [mm] A^k [/mm] eine Cauchyfolge ist.
wobei ich wie üblich die Operator-Norm nehme.
Sei [mm] N_2 [/mm] > [mm] N_1
[/mm]
[mm] ||S_(N_2) [/mm] - [mm] S_(N_1) [/mm] || = || [mm] \sum_{k=N_1 + 1}^{N_2} [/mm] 1/K! [mm] A^k [/mm] || <= [mm] ..<=\sum_{k=N_1 +1}^{N_2} [/mm] 1/k! || [mm] A||^k [/mm] = [mm] e^{||A||}
[/mm]
Und da weiß ich dass es konvergiert mit Konvergenzradious unendlich.
Vlt. kannst du mir da nochmal aushelfen, ob und was ich noch zuzeigen habe..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 So 28.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo,
> Ich bin mir nicht sicher ob ich das nun richtig gemacht
> habe:
> Zuzeigen ist das der Grenzwert existiert: [mm]lim_{N->\infty} \sum_{k=0}^N[/mm]
> 1/k! [mm]A^k[/mm]
Du mußt doch zeigen, daß die Reihe [mm] $\sum_{k=0}^N [/mm] 1/k!* [mm] t^k A^k$ [/mm] in der Operatornorm punktweise gegen $e^tA$ konvergiert. Ich vermisse das $t$.
Und die normale Konvergenz hast Du damit noch gar nicht abgedeckt.
> Ich will zeigen dass [mm]S_N =\sum_{k=0}^N[/mm] 1/k! [mm]A^k[/mm] eine
> Cauchyfolge ist.
> wobei ich wie üblich die Operator-Norm nehme.
> Sei [mm]N_2[/mm] > [mm]N_1[/mm]
> [mm]||S_(N_2)[/mm] - [mm]S_(N_1)[/mm] || = || [mm]\sum_{k=N_1 + 1}^{N_2}[/mm] 1/K!
> [mm]A^k[/mm] || <= [mm]..<=\sum_{k=N_1 +1}^{N_2}[/mm] 1/k! || [mm]A||^k[/mm] =
> [mm]e^{||A||}[/mm]
Das letzte Gleichheitszeichen stimmt nicht! Du willst doch zeigen, daß das Ganze kleiner [mm] $\epsilon$ [/mm] ist. Und das ist der Fall, weil [mm] $\sum [/mm] 1/k!$ konvergiert. Aber dies reicht noch nicht. Du brauchst schon die normale Konvergenz und die pktweise Konvergenz gegen [mm] $e^{tA}$, [/mm] um die Vertauschbarkeit von Konvergenz und Ableitung zu zeigen.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 So 28.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Ich bessere das nunmal aus:
Sei $ [mm] N_2 [/mm] $ > $ [mm] N_1 [/mm] $
[mm] ||S_(N_2) [/mm] - [mm] S_(N_1)|| [/mm] = [mm] ||\sum_{k=N_1 + 1}^{N_2} \frac{1}{k!} t^k A^k [/mm] || <= [mm] ..<=\sum_{k=N_1 +1}^{N_2} \frac{1}{k!} t^k|| A||^k [/mm] ->0
weil $ [mm] \sum [/mm] 1/k! $ konvergiert
Frage: Hat mir das oben nun überhaupt was gebracht, oder war das umsonst? Weil ich hab doch nun gezeigt, dass die Reihe exp (tA) konvergiert absolut für jede Matrix A [mm] \in M_{n \times n}
[/mm]
Da müsste dann doch nur mehr die puktweise konvergenz fehlen?
Ich bin da grade etwas verwirrt..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 So 28.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Lu-
> Sei [mm]N_2[/mm] > [mm]N_1[/mm]
>
> [mm]||S_(N_2)[/mm] - [mm]S_(N_1)||[/mm] = [mm]||\sum_{k=N_1 + 1}^{N_2} \frac{1}{k!} t^k A^k[/mm]
> || <= [mm]..<=\sum_{k=N_1 +1}^{N_2} \frac{1}{k!} t^k|| A||^k[/mm]
> ->0
> weil [mm]\sum 1/k![/mm] konvergiert
Bei $t$ fehlen die Betragsstriche.
>
> Frage: Hat mir das oben nun überhaupt was gebracht, oder
> war das umsonst? Weil ich hab doch nun gezeigt, dass die
> Reihe exp (tA) konvergiert absolut für jede Matrix A [mm]\in M_{n \times n}[/mm]
Ich weiß nicht wie Ihr die absolute Konvergenz in einem Operatorraum definiert habt.
Aber ich denke, Du meinst, daß die Reihe der Operatornormen konvergiert. Und zwar gleichmäßig für jedes [mm] $t\in [/mm] [-r, r]$. Du mußt also zeigen, daß [mm] $\sum 1/k!*\|(rA)^k\|$ [/mm] konvergiert. Und dies hast Du ja schon fast gemacht.
>
> Da müsste dann doch nur mehr die puktweise konvergenz
> fehlen?
Wenn Ihr [mm] $e^{tA}$ [/mm] als punktweisen Grenzwert der Reihe definiert habt, ist hier nichts mehr zu zeigen. Denn dann müßt ihr ja schon die punktweise Konvergenz bewiesen haben.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 So 28.10.2012 | | Autor: | Lu- |
> wie ihr die absolute Konvergenz in einem Operatorraum definiert habt.
Haben wir glaub ich gar nicht.
Unsere Definitionen:
DIe Funktionenfolge [mm] (f_n) [/mm] konvergiert punktwiese gegen die Funktion f, falls für jedes x [mm] \in [/mm] K die Folge [mm] (f_n (x))_{n \in \IN} [/mm] gegen f(x) konvergiert:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] K: [mm] f_n [/mm] (x) -> f(x) (n -> [mm] \infty)
[/mm]
d.h. [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] K [mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] |f_n [/mm] (x) - f(x) | < [mm] \epsilon
[/mm]
DIe Funktionen folge [mm] (f_n) [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen die Funktion f falls gilt
[mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] K [mm] |f_n [/mm] (x) - f(x)| < [mm] \epsilon
[/mm]
d.h. [mm] sup_{x \in K } [/mm] | [mm] f_n [/mm] (x) - f(x) | [mm] \le \epsilon
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 So 28.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> > wie ihr die absolute Konvergenz in einem Operatorraum
> definiert habt.
> Haben wir glaub ich gar nicht.
>
> Unsere Definitionen:
> DIe Funktionenfolge [mm](f_n)[/mm] konvergiert punktwiese gegen die
> Funktion f, falls für jedes x [mm]\in[/mm] K die Folge [mm](f_n (x))_{n \in \IN}[/mm]
> gegen f(x) konvergiert:
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] K: [mm]f_n[/mm] (x) -> f(x) (n -> [mm]\infty)[/mm]
> d.h. [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] K [mm]\forall \epsilon>0 \exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] N : [mm]|f_n[/mm] (x) - f(x) | < [mm]\epsilon[/mm]
>
> DIe Funktionen folge [mm](f_n)[/mm] konvergiert gleichmäßig gegen
> die Funktion f falls gilt
> [mm]\forall \epsilon[/mm] >0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N :
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] K [mm]|f_n[/mm] (x) - f(x)| < [mm]\epsilon[/mm]
> d.h. [mm]sup_{x \in K }[/mm] | [mm]f_n[/mm] (x) - f(x) | [mm]\le \epsilon[/mm]
Gut! Wobei die Werte der Funktionen hier Matrizen sind und der Betrag durch die Operatornorm ersetzt wird. Die [mm] $f_n$ [/mm] sind die Partialsummen der Reihe. Punktweise Konvergenz haben wir per Definition, und gleichmäßige Konvergenz (in $t$) folgt aus der von mir so genannten "Normalen Konvergenz". Damit sind wir eigentlich fertig. Oder?
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 So 28.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
Eine Frage hätte ich dazu noch.
Müssen wir die Gleichmäßige Konvergenz nicht von der Ableitung zeigen um Ableitung und Limes zu vertauschen..?
Ich schreibe es nochmal sauber auf:
Proposition:
[mm] S_n =\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} t^k A^k [/mm] sei punktweise konvergent gegen [mm] e^{tA} [/mm] und die Folge der Ableitungen [mm] (S_n)' [/mm] sei gleichmäßig konvergent.
Dann gilt [mm] (\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} t^k A^k)' [/mm] = [mm] lim_{n->\infty} (S_n)' [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:26 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
> Eine Frage hätte ich dazu noch.
> Müssen wir die Gleichmäßige Konvergenz nicht von der
> Ableitung zeigen um Ableitung und Limes zu vertauschen..?
Ja!
> Ich schreibe es nochmal sauber auf:
>
> Proposition:
> [mm]S_n =\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} t^k A^k[/mm] sei punktweise
> konvergent gegen [mm]e^{tA}[/mm] und die Folge der Ableitungen
> [mm](S_n)'[/mm] sei gleichmäßig konvergent.
> Dann gilt [mm](\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} t^k A^k)'[/mm] =
> [mm]lim_{n->\infty} (S_n)'[/mm]
>
> Logischerweise gilt ja : [mm](S_n)' =\sum_{k=0}^n (\frac{1}{k!} t^k A^k)'[/mm]
> = [mm]\sum_{k=0}^n (\frac{k}{k!} t^{k-1} A^k)[/mm]
>
> 1)
> [mm]S_n =\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} t^k A^k[/mm] sei punktweise
> konvergent
> [mm]\forall[/mm] A [mm]\in M_{n \times n}[/mm] : [mm]S_n[/mm] -> [mm]e^{tA} (n->\infty)[/mm]
>
> [mm]lim_{n->\infty} S_n[/mm] = [mm]lim_{n->\infty}\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} t^k A^k[/mm]
> = [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} t^k A^k[/mm] = [mm]e^{tA}[/mm] (laut
> definition)
>
> 2)
> [mm]\sum_{k=0}^n (\frac{k}{k!} t^{k-1} A^k)[/mm] gleichmäßig
> konvergent
> Nach Satz von Weierstraß: Falls [mm]\sum_{k=0}^n ||\frac{k}{k!} t^{k-1} A^k[/mm]
> || konvergiert , so ist [mm]\sum_{k=0}^n (\frac{k}{k!} t^{k-1} A^k)[/mm]
> absolut konvergent und gleichmäßig konvergent.
> wobei ich die Opeartornorm meine.
> Sei [mm]N_2[/mm] > [mm]N_1[/mm]
> || [mm]\sum_{k=0}^{N_2} (\frac{k}{k!} t^{k-1} A^k)[/mm] -
> [mm]\sum_{k=0}^{N_1} (\frac{k}{k!} t^{k-1} A^k)[/mm] || .. [mm]\le \sum_{k=N_1 +1}^{N_2} \frac{1}{(k-1)!} ||t^{k-1}|| ||A^k||[/mm]
> ->0
>
Fast genau so! Du solltest vielleicht noch die Gleichmäßigkeit bzgl. $t$ betonen. Die absolute Konvergenz ist ja nur eine Aussage für ein $t$, die gleichmäßige Konvergenz ist eine Aussage für die Funktionenfolge. Zeige also, daß für alle [mm] $t\in[-r; [/mm] r]$ die Reihe der Suprema über $[-r; r]$ der Operatornormen konvergiert. Dies ist die Reihe mit den Gliedern [mm] $\|k/k!* r^{k-1} [/mm] * [mm] A^k\|$.
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Sry, dass ich nochmal nachfrage, aber ist das nicht genau die selbe rechnung wie im vorigen posz (punkt 2) nur statt t setzt du r ein?
liebe Grüße Lu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> Sry, dass ich nochmal nachfrage, aber ist das nicht genau
> die selbe rechnung wie im vorigen posz (punkt 2) nur statt
> t setzt du r ein?
Genau! Und damit bekomme ich gleichmäßige Konvergenz für alle [mm] $t\in[-r; [/mm] r]$. Und dies ist Voraussetzung, daß die Ableitung an der Stelle [mm] $t_0\in [/mm] (-r, r)$ mit dem Limes vertauscht werden kann.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Lu- |
okay danke.
Und tut mir leid für die schwere geburt ;)
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:22 Mo 29.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Ich würde das so machen:
[mm] \bruch{e^{(t+h)A}-e^{tA}}{h}=e^{tA}\bruch{e^{hA}-I}{h}
[/mm]
Für [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{e^{hA}-I}{h}=A [/mm] braucht man nur die Stetigkeit in h=0 der Potenzreihe für [mm] e^{hA}.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Lu- |
> $ [mm] \bruch{e^{(t+h)A}-e^{tA}}{h}=e^{tA}\bruch{e^{hA}-I}{h} [/mm] $
[mm] e^{hA} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{(hA)^k}{k!} [/mm] = [mm] I_n [/mm] + hA + [mm] \frac{h^2 A^2}{2} +O(h^3)
[/mm]
[mm] \frac{e^{hA}-I_n}{h} [/mm] = A + [mm] \frac{h A^2}{2}+O(h^2)
[/mm]
sieht man so nicht auch dass bei h->0 [mm] \frac{ e^{hA}-I_n}{h} [/mm] gegen A konvergiert?
Nun verunsichert mich aber noch die umgekehrte Reihenfolge..
[mm] lim_{h->0} e^{tA} \frac{e^{hA} - I_n}{h} [/mm] = [mm] e^{tA} [/mm] A
ich meine Matrizen sind ja nicht kommutativ im allgemeinen, wieso darf ich dann die beiden vertauschen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> > [mm]\bruch{e^{(t+h)A}-e^{tA}}{h}=e^{tA}\bruch{e^{hA}-I}{h}[/mm]
> [mm]e^{hA}[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{(hA)^k}{k!}[/mm] = [mm]I_n[/mm] + hA +
> [mm]\frac{h^2 A^2}{2} +O(h^3)[/mm]
> [mm]\frac{e^{hA}-I_n}{h}[/mm] = A +
> [mm]\frac{h A^2}{2}+O(h^2)[/mm]
>
> sieht man so nicht auch dass bei h->0 [mm]\frac{ e^{hA}-I_n}{h}[/mm]
> gegen A konvergiert?
>
> Nun verunsichert mich aber noch die umgekehrte
> Reihenfolge..
> [mm]lim_{h->0} e^{tA} \frac{e^{hA} - I_n}{h}[/mm] = [mm]e^{tA}[/mm] A
> ich meine Matrizen sind ja nicht kommutativ im
> allgemeinen, wieso darf ich dann die beiden vertauschen?
> LG
Erstens, Deine Matrizen vertauschen, im wesentlichen weil [mm] $e^{tA} [/mm] * [mm] e^{sA} [/mm] = [mm] e^{tA + sA} [/mm] = [mm] e^{sA + tA} [/mm] = [mm] e^{sA}*e^{tA}\;.$ [/mm] Und weil [mm] $A*e^{tA} [/mm] = [mm] e^{tA}*A$. [/mm] Dies folgt aus der Reihendarstellung von [mm] $e^{tA}$ [/mm] und der Stetigkeit der Matrizenmultiplikation bzgl. der Operatornorm.
Drittens eigentlich mußt Du beweisen:
[mm] $\lim_{h\to0} \left\|\frac {e^{(t+h)A}-e^{tA}} h - A*e^{tA}\right\| [/mm] = 0$.
Dies folgt mit FREDs Hinweis aus [mm] $\lim_{h\to 0}\left\|\frac {e^{hA}-I} h - A\right\| [/mm] = 0$.
Zur Begründung dieses Schlusses: Kommutativität und Stetigkeit der Matrizenmultiplikation.
Dabei hast Du es mit Operatoren und Operatornormen zu tun, nicht mit Zahlen und Beträgen. Daher würde ich nicht mit Landau-Symbolen rummachen, da diese ja zunächst auf matrizenwertige Funktionen übertragen werden müßten. Das geht zwar, ist aber den Aufwand nicht wert.
Gruß,
Wolfgang
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