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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Mi 10.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz oder Divergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n}) [/mm] |
Hallo,
Wollte mal freagen ob mein Ansatz folgendermaßen okay ist: Zunächst hab ich gesagt: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n}) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{\wurzel{n+1} + \wurzel{n}}) [/mm] indem ich die [mm] (\wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n}) [/mm] per 3. binomische Formel mit [mm] (\wurzel{n+1} [/mm] + [mm] \wurzel{n}) [/mm] erweitert hab.
Darauf hab ich nun das Quotientenkriterium losgelassen, wobei ich den Betrag vernachlässigen kann, da alle Folgenglieder größer 0 sind:
Das wäre dann: [mm] \bruch{\wurzel{n+2} + \wurzel{n+1}}{\wurzel{n+1} + \wurzel{n}}= \bruch{\wurzel{n+2} + \wurzel{n+1} + \wurzel{n} - \wurzel{n}}{\wurzel{n+1} + \wurzel{n}} [/mm] = 1+ [mm] \underbrace{\bruch{\wurzel{n+2} - \wurzel{n}}{\wurzel{n+1} + \wurzel{n}}}_{> 0} [/mm] > 1.
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Reihe divergiert.
Ist dieser Rechenweg soweit okay?, oder geht es eventuell kürzer, was ich jetz nicht gesehen hab, irgendwie mithilfe des Minorantenkriteriums?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Mi 10.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast [mm] a_n/a_{n+1}>1 [/mm] gezeigt, aber du muesstest [mm] a_{n+1}/a_n [/mm] ansehen, davon geht der GW gegen 1. du hast nur gezeigt, dass die [mm] a_n [/mm] monoton fallen.
besser den Bruch mit a/n vergleichen und das Minorantenkriterium verwenden mit der harmonischen Reihe.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Mi 10.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Sorry, da hab ich eben beim Quotientenkriterium wohl nich aufgepasst.
Kann ich das dann folgendermaßen machen mit dem Minorantenkriterium?:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} \ge \bruch{1}{2*\wurzel{n+1}} \ge \bruch{1}{2(n+1)} [/mm] da n+1 [mm] \ge \wurzel{n+1} \forall [/mm] n [mm] \in \IN.
[/mm]
[mm] 0,5*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n+1} [/mm] divergiert, da das gleich ist zu: [mm] 0,5*\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] und die harmonische Reihe divergiert. Also divergiert auch die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} [/mm] nach [mm] Minorantenkriterium.\Box
[/mm]
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Mi 10.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Richtig.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:08 Mi 10.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank für deine Hilfe
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