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Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 Fr 27.07.2007
Autor: Steffy

Hallo,


ich hätte da noch eine ähnliche Frage wie die erste.


Wie kommt man auf folgende Gleichheiten:


[mm] \summe_{k=2}^{n} [/mm] (ln*k - ln*(k-1)) = ln*n - ln*1

und

[mm] \summe_{k=2}^{n} [/mm] (ln*(k+1) - ln*k) = ln*(n+1) - ln*2

Könntet ihr mir das bitte auch kurz erklären.

Gruß, Steffy

        
Bezug
Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 Fr 27.07.2007
Autor: Somebody


> Hallo,
>  
>
> ich hätte da noch eine ähnliche Frage wie die erste.
>  
>
> Wie kommt man auf folgende Gleichheiten:
>  
>
> [mm]\summe_{k=2}^{n}[/mm] (ln*k - ln*(k-1)) = ln*n - ln*1
>  
> und
>
> [mm]\summe_{k=2}^{n}[/mm] (ln*(k+1) - ln*k) = ln*(n+1) - ln*2
>  

Ist dies wirklich $ln*(k+1)-ln*k$ oder nicht vielmehr [mm] $\ln(k+1)-\ln(k)$ [/mm] (d.h. die Differenz von natürlichen Logarithmen)? Multiplikation ist ja entschieden nicht das selbe wie Funktionsanwendung.

> Könntet ihr mir das bitte auch kurz erklären.

Ich nehme einmal an, dass natürliche Logarithmen gemeint sind:
[mm]\sum_{k=2}^{n}\big(\ln(k) - \ln(k-1)\big) = \big(\red{\ln(2)}\blue{-\ln(1)}\big)+\big(\ln(3)\red{-\ln(2)})+\cdots +\big(\red{\ln(n-1)}-\ln(n-2)\big)+\big(\blue{\ln(n)}\red{-\ln(n-1)}\big) = \blue{\ln(n)-\ln(1)}[/mm]

Wieder heben sich die rot markierten Teile aufeinanderfolgender Summanden auf. Insgesamt bleiben deshalb nur die beiden blau markierten Terme übrig.

Ob in Deiner Fragestellung $ln$ den natürlichen Logarithmus oder eine blosse Konstante bedeutet, spielt für die obige Vereinfachung der Summe eigentlich keine Rolle. Nur liesse sich der Logarithmus [mm] $\ln(1)$ [/mm] natürlich noch zu $0$ vereinfachen, d.h. die Summe wäre dann sogar [mm] $=\ln(n)$. [/mm]

Ganz analog verläuft die Vereinfachung bei Deinem zweiten Beispiel:
[mm]\sum_{k=2}^{n}\big(\ln(k+1) - \ln(k)\big) = \big(\red{\ln(3)}\blue{-\ln(2)}\big)+\big(\ln(4)\red{-\ln(3)})+\cdots +\big(\red{\ln(n)}-\ln(n-1)\big)+\big(\blue{\ln(n+1)}\red{-\ln(n)}\big) = \blue{\ln(n+1)-\ln(2)}[/mm]


Und natürlich könnte man diese Vereinfachungen auch ohne "Pünktchen", nur durch Zerlegen der Summe in zwei Summen, Indexverschiebung und Abspalten des ersten bzw. letzten Gliedes der beiden Teilsummen erhalten.


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