Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{2^{2k}}{9^{k+1}} [/mm] |
Meine Rechnung:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{2^{2k}}{9^{k+1}} [/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{9} \bruch{4^{k}}{9^{k}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{9} \summe_{k=1}^{n} (\bruch{4}{9})^{k}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{9} \summe_{k=0}^{n-1} (\bruch{4}{9})^{k+1}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{9} \summe_{k=0}^{n-1} (\bruch{4}{9})^{k} (\bruch{4}{9})^{1}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{9} \bruch{4}{9} \summe_{k=0}^{n-1} (\bruch{4}{9})^{k}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{9} \bruch{4}{9} \bruch{1-(\bruch{4}{9})^{n+1}}{1-\bruch{4}{9}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{9} \bruch{4}{9} \bruch{1-(\bruch{4}{9})^{n+1}}{\bruch{5}{9}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{9} \bruch{4}{9} \bruch{9}{5} (1-(\bruch{4}{9})^{n+1})
[/mm]
= [mm] \bruch{4}{45} (1-(\bruch{4}{9})^{n+1})
[/mm]
= [mm] \bruch{4}{45} [/mm] - [mm] \bruch{4}{45} (\bruch{4}{9})^{n+1}
[/mm]
Die Lösung lautet jedoch
[mm] \bruch{4}{45} [/mm] - [mm] \bruch{1}{5} (\bruch{4}{9})^{n+1}
[/mm]
Aber ich kann meinen Fehler nicht finden. Kann mir jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße,
Pingumane
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Mo 04.07.2016 | | Autor: | huddel |
> Berechnen Sie
>
> [...]
>
> = [mm]\bruch{1}{9} \bruch{4}{9} \summe_{k=0}^{n-1} (\bruch{4}{9})^{k}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{9} \bruch{4}{9} \bruch{1-(\bruch{4}{9})^{n+1}}{1-\bruch{4}{9}}[/mm]
>
> [...]
>
schau dir diese Gleichung noch einmal genauer an :)
(Hinweis: bis wohin geht die Summe und was sollte im Exponenten von [mm] $\frac{4}{9}$ [/mm] stehen?)
>
> Die Lösung lautet jedoch
>
> [mm]\bruch{4}{45}[/mm] - [mm]\bruch{1}{5} (\bruch{4}{9})^{n+1}[/mm]
>
> Aber ich kann meinen Fehler nicht finden. Kann mir jemand
> weiterhelfen?
>
>
> Liebe Grüße,
> Pingumane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Mo 04.07.2016 | | Autor: | Pingumane |
Ah danke sehr! Da muss natürlich n stehen :)
|
|
|
|
