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| Aufgabe | Betrachte die Reihe:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{ln(1+n)}
[/mm]
a) Untersuche die Reihe auf einfache Konvergenz
b) Untersuche die Reihe auf absolute Konvergenz. (Man darf ohne Begründung benutzen: [mm] ln(1+n)\le [/mm] n [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN) [/mm] |
Hallo zusammen
Da ich bald Prüfungen habe und ich alte Prüfungen zum üben habe, aber leider ohne Lösungen kommt hier schon wieder eine Aufgabe!
Zu a:
Via Leibnitz mit [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{ln(1+n)}
[/mm]
1) [mm] a_n [/mm] ist eine Nullfolge OK.
2) Da ln(1+n) monoton wachsend ist [mm] \Rightarrow \bruch{1}{ln(1+n)} [/mm] ist monoton fallend
[mm] \Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{ln(1+n)} [/mm] konvergiert!
Zu b:
Für absolute Konvergenz muss [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] | [mm] \bruch{(-1)^n}{ln(1+n)} [/mm] | = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{ln(1+n)} [/mm] konvergieren.
Aus [mm] ln(1+n)\le [/mm] n [mm] \Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{ln(1+n)} \ge \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n}, [/mm] wobei [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n} [/mm] die harm. Reihe ist. Diese ist bekanntlich divergent.
Also folgt mit dem Minoratenkrit. das [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{ln(1+n)} [/mm] divergiert.
Also, dass [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{ln(1+n)} [/mm] nicht absolut konvergiert.
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Mi 05.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Betrachte die Reihe:
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{ln(1+n)}[/mm]
> a)
> Untersuche die Reihe auf einfache Konvergenz
> b) Untersuche die Reihe auf absolute Konvergenz. (Man darf
> ohne Begründung benutzen: [mm]ln(1+n)\le[/mm] n [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN)[/mm]
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> Hallo zusammen
>
> Da ich bald Prüfungen habe und ich alte Prüfungen zum
> üben habe, aber leider ohne Lösungen kommt hier schon
> wieder eine Aufgabe!
>
> Zu a:
> Via Leibnitz mit [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{ln(1+n)}[/mm]
> 1) [mm]a_n[/mm] ist eine Nullfolge OK.
> 2) Da ln(1+n) monoton wachsend ist [mm]\Rightarrow \bruch{1}{ln(1+n)}[/mm]
> ist monoton fallend
> [mm]\Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{ln(1+n)}[/mm]
> konvergiert!
>
> Zu b:
> Für absolute Konvergenz muss [mm]\summe_{i=1}^{\infty}[/mm] |
> [mm]\bruch{(-1)^n}{ln(1+n)}[/mm] | = [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{ln(1+n)}[/mm]
> konvergieren.
>
> Aus [mm]ln(1+n)\le[/mm] n [mm]\Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{ln(1+n)} \ge \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n},[/mm]
> wobei [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n}[/mm] die harm. Reihe
> ist. Diese ist bekanntlich divergent.
> Also folgt mit dem Minoratenkrit. das
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{ln(1+n)}[/mm] divergiert.
> Also, dass [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{ln(1+n)}[/mm]
> nicht absolut konvergiert.
>
> Ist das so richtig?
>
Ja, bis auf "Leibnitz". Wie ist die richtige Schreibweise ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Babybel73 |
:) Leibniz, natürlich! :)
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