Regulärer Punkt / Wert < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Verständnisfrage:
Ein Wert heißt regulär, falls sein Urbild nur aus regulären Punkten besteht.
Ein Punkt heißt regulär, wenn das Differential an dieser Stelle surjektiv ist. |
Wie muss ich mir das Vorstellen? Wenn y regulärer Punkt ist, soll df(z) surjektiv sein: Wie kann eine Funktion an einer Stelle surjektiv sein?
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Hallo Quarkstollen,
betrachte doch mal:
[mm]f(x,y) = \vektor{x^2 \\ y^2}[/mm].
An welchen Punkten ist Df(x,y) surjektiv?
MfG,
Gono.
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Hallo!
Die Ableitung deiner Fkt ist doch (2x 0 // 0 2y) (Als 2zeilige Matrix).
Aber daran seh ich immer noch nicht, ob die Funktion in einem Punkt surjektiv ist. Ich hab das immer so verstanden dass eine Fkt entweder _komplett_ surjektiv ist, oder eben nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Di 29.07.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo quarkstollen88,
das Differential an der Stelle [mm] (x_{0},y_{0}) [/mm] soll nach Deiner Definition surjektiv sein; denk mal drüber nach was das Differential eigentlich ist (ursprüngliche Definition).
Gruß
Uli
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Naja, das Differential einer Funktion is wieder eine Funktion (bzw lineare Abbildung). Bei der könnte man zeigen dass sie surjektiv ist, aber ich verstehe weiter nicht, wie man zeigen soll, dass eine Funktion an nur einem einzigen Punkt surjektiv ist.
Oder geh ich etwa ganz falsch an die Sache ran?
Was ich auf jeden Fall weiß, ist dass das Gegenteil eines regulären Punktes ein kritischer Punkt ist (also f'(x)=0). Und ein kritischer Wert ist dann das Urbild des kritischen Punktes.
Ich könnte so natürlich "hintenrum" auf die regulären Punkte kommen (=alle nicht-kritischen Punkte), aber ich würde schon die Definition gerne verstehen...
Ich bitte um Aufklärung, morgen ist Klausur, und das ist das letzte Thema das noch drankommt 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Di 29.07.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo quarkstollen88,
die lineare Abbildung, die man Differential nennt ist doch abhängig von dem Punkt an dem man differenziert (ich nannte ihn in Anlehnung an das Beispiel in meiner letzten Antwort [mm] (x_{0},y_{0}), [/mm] allgemein natürlich aus dem [mm] \IR^n). [/mm] Und für diesen (festen) Punkt wird nun diese lineare Abbildung (=Differential) betrachtet und die muss surjektiv sein (natürlich, wie Du richtig sagst als gesammte Funktion); für einen anderen Punkt handelt es sich formal um eine andere lineare Abbildung und die kann natürlich dann auch nicht surjektiv sein. (Falls Du statt lineare Abbildung lieber den Begriff (Funktional-)Matrix verwendest, dann bedeutet surjektiv, dass der Rang der Matrix gleich dem des Bildraumes der Ausgangsfunktion sein muss)
Ich habe außer bei Wikipedia, das praktisch Deine Definition verwendet, nur zwei Stellen im Internet gefunden, die "regulär" in diesem Zusammenhang definieren, beide allerdings für Abbildungen auf Mannigfaltigkeiten, was aber nur eine etwas allgemeinere Definition darstellt. Für beide hier der Link:
http://books.google.de/books?id=PLlCc8AMhlAC&pg=PA118&lpg=PA118&dq=regul%C3%A4rer+punkt&source=web&ots=ncb4IrKy9L&sig=7GaDFOBlTPQRXHNVucg5LIuK-tc&hl=de&sa=X&oi=book_result&resnum=1&ct=result#PPA118,M1
und
http://joguinf.informatik.uni-mainz.de/~mkraus/Integration-auf-Flaechen.pdf
Das zweite ist ein pdf-Dokument in dem Du nach "regulär" suchen musst.
Ich hoffe es hilft Dir weiter und viel Erfolg in der Klausur.
Gruß
Uli
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