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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Di 25.01.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Gelten folgende Aussagen?
a) det(A+B)=det(A)+ det(B)
b) det(AB)=det(BA)
c) wenn det(A)=0, dann sind [mm] \overrightarrow{a_{1}} ...\overrightarrow{a_{n}} [/mm] linear abhängig und andersherum, wenn [mm] det(A)\not=0 [/mm] sind sie linear unabhängig. |
Hi Leute,
aus dem Tutorium sind ein paar Fragen entstanden, auf die ich gerne mal eine Antwort wüsste xD
Danke schon mal im Voraus.
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Di 25.01.2011 | | Autor: | skoopa |
Hi!
> Gelten folgende Aussagen?
> a) det(A+B)=det(A)+ det(B)
Diese Aussage gilt im Allgemeinen nicht. Gegenbeispiel:
Sei [mm] 1
[mm] det(E_{n})+det(E_{n})=2\not=2^n=det(E_{n}+E_{n})=det(2*E_{n})
[/mm]
> b) det(AB)=det(BA)
Auch das gilt im Allgemeinen nicht, da die Matrixmultiplikation an und für sich ja schon nicht kommutativ ist. Außerdem ist unter Umständen BA gar nicht definiert, weil die Dimensionen nicht passen oder ähnliches.
> c) wenn det(A)=0, dann sind [mm]\overrightarrow{a_{1}} ...\overrightarrow{a_{n}}[/mm]
> linear abhängig und andersherum, wenn [mm]det(A)\not=0[/mm] sind
> sie linear unabhängig.
Das stimmt so, weil du ja mit dem Gaußalgorithmus eine Nullzeile produzieren kannst, wenn die betrachtete Familie von Vektoren linear abhängig ist.
> Hi Leute,
> aus dem Tutorium sind ein paar Fragen entstanden, auf die
> ich gerne mal eine Antwort wüsste xD
> Danke schon mal im Voraus.
> Gruß David
>
>
Grüße!
skoopa
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> > Gelten folgende Aussagen?
> > b) det(AB)=det(BA)
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> Auch das gilt im Allgemeinen nicht, da die
> Matrixmultiplikation an und für sich ja schon nicht
> kommutativ ist. Außerdem ist unter Umständen BA gar nicht
> definiert, weil die Dimensionen nicht passen oder
> ähnliches.
Hallo,
1.) man sollte natürlich voraussetzen, dass alle beteilig-
ten Matrizen (A, B und folglich auch die Produkte AB und BA)
dasselbe quadratische Format [mm] n\times{n} [/mm] haben
2.) die Nicht-Kommutativität der Matrizenmultiplikation
ändert nichts an der "Determinanten-Kommutativität",
welche in der Gleichung ausgedrückt wird
(für den Fall, dass A und B vom gleichen Format [mm] n\times{n}
[/mm]
sind)
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:56 Mi 26.01.2011 | | Autor: | skoopa |
Hey!
Ou ja Mist! Das ist natürlich Quatsch gewesen...
Sorry! Und Danke!
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> Hey!
> Ou ja Mist! Das ist natürlich Quatsch gewesen...
> Sorry! Und Danke!
Hallo skoopa,
ich glaube, dass du mich teilweise missverstanden hast.
Falls die Matrizen A und B z.B. die Formate [mm] m\times{n} [/mm] und
[mm] n\times{m} [/mm] haben (mit m≠n) , so existieren zwar die
Determinanten det(A) und det(B) nicht, sehr wohl aber
det(AB) und det(BA). Diese beiden müssen aber nicht
übereinstimmen. Es können also durchaus det(AB) und
det(BA) beide existieren mit det(AB)≠det(BA).
Falls aber A und B beide vom Format [mm] n\times{n} [/mm] sind,
so sind dies auch die Matrizen AB und BA, und es gilt
$\ det(A)*det(B)=det(AB)=det(BA)$
Man kann also durchaus sagen, dass die Aussage
b) det(AB)=det(BA)
nicht allgemein gültig ist (wenn nicht vorausgesetzt ist,
dass A und B vom gleichen Format [mm] n\times{n} [/mm] sind).
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:29 Do 27.01.2011 | | Autor: | skoopa |
Stimmt. Hab schon wieder zu kurz gedacht.
Aber jetzt ist's verstanden 
Vielsten Dank!
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