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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Sa 01.04.2006 | | Autor: | Dami |
| Aufgabe | Es seien a und b positive reelle Zahlen.Zeigen Sie
(a+b)³ <=4(a³+b³) |
ich bin bis
(a+b)(a²+2ab+b²)<= 4(a+b)(a²-ab-b³)
gekommen. Ich weiß nicht wie man jetzt weiter machen soll. Es wäre sehr Hilfreich sein wenn jemand mir weiter helfen können.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Vielen Dank,
Dami
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Hey Dami,
Eine schöne Aufgabe, ich hab auch eine Zeitlang gebraucht um die Lösung zu finden.
> Es seien a und b positive reelle Zahlen.Zeigen Sie
> (a+b)³ <=4(a³+b³)
> ich bin bis
> (a+b)(a²+2ab+b²)<= 4(a+b)(a²-ab-b³)
>
Deine Umformung kann hier nicht stimmen, da wenn du rechts b mit [mm] b^{3}
[/mm]
multiplizierst, [mm] b^{4} [/mm] erhältst. Und das steht ja nicht in deiner Ursprungsgleichung.
Deine Formel lautet:
(a+b)(a²+2ab+b²)<= 4(a+b)(a² - ab + [mm] b^{2})
[/mm]
Jetzt kannst du mit (a+b) kürzen und da a,b positiv sind, verändert sich das Zeichen nicht.
(a²+2ab+b²)<= 4(a² - ab + [mm] b^{ [red] 2 [/red]})
[/mm]
Durch ausmulitplizieren und subtrahieren erhältst du (linke Seite =0 umformen):
0 [mm] \le 3a^{2}+3 b^{2}-6ab
[/mm]
0 [mm] \le a^{2}+b^{2}-2ab
[/mm]
Diese Formel kennst du sicher: es ist eine binomische....
0 [mm] \le (a-b)^{2}
[/mm]
und schliesslich ist das Quadrieren einer Zahl (egal positiv oder negativ) immer positiv und das heisst immer grösser als 0, bis auf die Ausnahme a=b.
q.e.d
> gekommen. Ich weiß nicht wie man jetzt weiter machen soll.
> Es wäre sehr Hilfreich sein wenn jemand mir weiter helfen
> können.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Vielen Dank,
> Dami
Bye Bye
Gorky
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Sa 01.04.2006 | | Autor: | Fugre |
Hi Gorky,
wenn ich mich nicht irre, dann hast du ein wenig großzügig gekürzt, am richtigen Ergebnis ändert es aber nichts. Bei meinen Berechnungen blieb am Ende: [mm] $(a-b)^2(a+b) \ge [/mm] 0$ mit dieser Lösung wäre auch die Beschränkung auf positive Zahlen einleuchtend.
Gruß
Nicolas
PS: Diese Anmerkung war überflüssig, hattest alles wunderbar gemacht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Sa 01.04.2006 | | Autor: | Dami |
Hi Gorky,
Danke für Ihre Hilfe.
Jetzt habe ich auch verstanden.
Vielen Dank
Dami
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