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Forum "Uni-Stochastik" - Reelle Zufallsvariable
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Reelle Zufallsvariable: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:17 Di 21.11.2006
Autor: Infinity1982

Aufgabe
Sei X eine reellwertige Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega,\mathcal{A},P). [/mm]
Zu zeigen:
X ist genau dann unabhängig von sich selbst, wenn X mit Wahrscheinlikeit 1 konstant ist, d.h. wenn es ein c [mm] \in \IR [/mm] gibt mit P(X=c)=1 ist. Tipp: Betrachte die Verteilungsfrunktion von X

Hallo!!
Die Aufgabe ist an sich nicht schwer, aber ich hier und dort ein paar Fragen:
[mm] "\Rightarrow": [/mm]
P(X [mm] \cap [/mm] X)=P(X)=P(X)*P(X),d.h. dass [mm] P(X)=P(X)^{2} [/mm] ist.
Da P [mm] \in [/mm] [0,1] liegt, ist P(X)=0 oder P(X)=1. Wie baue ich ein, dass es ein c [mm] \in \IR [/mm] ex. mit F(c)=P(X=c)=1? F(c) ist die Verteilungsfunktion. Wieso fällt die Lösung P(X)=0 weg?

[mm] "\Leftarrow": [/mm]
Es gilt P(X=c)=1.
Dann [mm] P(X\cap [/mm] X)=P(X)=1
und P(X)*P(X)=1*1=1
Also ist P(X [mm] \cap [/mm] X)= P(X)*P(X), also die Formel der Unabhängigkeit gilt.
Ist die Aufgabe echt so einfach? Habe das Gefühl, das ich was falsch gemacht habe.

DANKE!!
Infinity

        
Bezug
Reelle Zufallsvariable: Neuer Lös.weg
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:14 Fr 24.11.2006
Autor: Infinity1982

Hallo!!
Die Aufgabe habe ich nochmal neu bearbeitet, weil ich die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen mit der von Ereignissen verwechselt habe. Kann sie sich bitte jemand anschauen, und mir sagen, obs stimmt?? :-)
[mm] \Rightarrow: [/mm] Sei X unabhängig von sich selbst.
z.z. Es gibt ein [mm] c\in \IR: [/mm] P(X=c)=1
Sei A [mm] \in \mathcal{G}=\sigma({]-\infty,c]| c\in \IR}) [/mm] so erzeugt, [mm] \mathcal{G} \subset \mathcal{F}, [/mm] die [mm] \sigma-Algebra [/mm] von [mm] \Omega. [/mm]
X unabh. von sich selbst bedeutet doch:
P(X [mm] \le [/mm] c, X [mm] \le [/mm] c) = P(X [mm] \le [/mm] c)*P(X [mm] \le [/mm] c)= [mm] [\integral_{-\infty}^{c}{f(x) dx}]^{2}= \integral_{-\infty }^{c}{dx}\integral_{-\infty}^{c}{dy}f(x)f(y) [/mm] (nach Fubini)=
[mm] \integral_{-\infty}^{c}{f(x) dx}\integral_{-\infty}^{c}{f(y) dy} [/mm] = (*)
Nun wähle c := [mm] +\infty, [/mm] dann ist (*)= 1*1=1
Also folgt, dass es ein c [mm] \in \IR [/mm] gibt, mit P(X =c)=1. Stimmt das so??
[mm] \Leftarrow: [/mm] Es gibt ein c [mm] \in \IR [/mm] mit P(X =c)=1.
z.z. X ist unabh. von sich selber, d.h. P(X [mm] \le [/mm] c, X [mm] \le [/mm] c) = P(X [mm] \le [/mm] c)*P(X [mm] \le [/mm] c)

Da hab ich so meine Probleme:
Es gilt P(X le c)*P(X [mm] \le [/mm] c)=1*1=1=P(X=c)= P(X=c,X=c)
Also gilt das gezeigte schon mal für den Fall "=".
Aber wie zeig ich das jetzt für [mm] "\le"?? [/mm] Kann mir da jemand weiterhelfen? Wäre echt nett!
Lg, Infinity

Bezug
                
Bezug
Reelle Zufallsvariable: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 Fr 24.11.2006
Autor: DirkG

Dein erster Weg gefällt mir besser, beim zweiten machst du unzulässige Annahmen wie Stetigkeit der Zufallsgröße usw. Die Bezeichnung P(X) lehne ich ab, ich verwende lieber die Verteilungsfunktion [mm] $F_X(t)=P(X\leq [/mm] t)$:

Wie du bereits festgestellt hast, folgt aus der Unabhängigkeit von $X$ mit sich selbst die Eigenschaft [mm] $F_X(t)=0$ [/mm] oder [mm] $F_X(t)=1$ [/mm] für alle $t$. Nun ist [mm] $F_X(t)$ [/mm] außerdem monoton in $t$, also gibt es nur drei Fälle zu untersuchen:

(1) Es existiert ein [mm] $c\in\mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $F_X(t)=0$ [/mm] für alle $t<c$ und [mm] $F_X(t)=1$ [/mm] für alle [mm] $t\geq [/mm] c$.

(2) Es ist [mm] $F_X(t)=0$ [/mm] für alle [mm] $t\in\mathbb{R}$. [/mm]

(3) Es ist [mm] $F_X(t)=1$ [/mm] für alle [mm] $t\in\mathbb{R}$. [/mm]

Fall (2) kann nicht eintreten, denn dann ergibt sich der Widerspruch
$$1 = [mm] P(\Omega) [/mm] = [mm] P(X\in\mathbb{R}) [/mm] = [mm] \lim\limits_{t\to\infty} F_X(t) [/mm] = 0 .$$
Fall (3) kann auch nicht eintreten, denn dann ergibt sich der Widerspruch
$$0 = [mm] P(\emptyset) [/mm] = [mm] \lim\limits_{t\to -\infty} F_X(t) [/mm] = 1 .$$
Normalerweise handelt man die Punkte (2),(3) mit den Eigenschaften der Verteilungsfunktion ab, aber ich hab es hier mal explizit auf die Stetigkeit des W-Maßes $P$ zurückgeführt.

Gruß,
Dirk


Bezug
        
Bezug
Reelle Zufallsvariable: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:20 Di 28.11.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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