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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Bernd666 |
Hallo!!!Ich habe zwei Fragen:
Wie beweise ich für welche [mm] n\in\IN [/mm] gilt [mm] 2^{n}>n^{2}? [/mm] und
Wie zeige ich dass [mm] \wurzel{3} [/mm] keine rationale Zahl ist?
Herzlichen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Zur ersten Frage:
Das gilt für $n [mm] \ge [/mm] 5$, wie du mit vollständiger Induktion zeigen solltest.
Tipp: Zeige zunächst, dass dafür [mm] $2^n>2n+1$ [/mm] gilt, dann ist der Rest trivial...
Zur zweiten Aufgabe: Nehme an:
[mm] $\sqrt{3} [/mm] = [mm] \frac{p}{q}$, [/mm] vollständig gekürzt. Daraus folgt:
[mm] $3q^2=p^2$.
[/mm]
Daraus folgt: $3$ teilt [mm] $p^2$, [/mm] also auch $p$ (da $3$ eine Primzahl ist.) Es folgt: $p=3p'$ und
[mm] $3q^2=(3p')^2=9p'^2$.
[/mm]
Daraus erhalten wir:
[mm] $q^2=3p'^2$.
[/mm]
$3$ teilt also auch [mm] $q^2$ [/mm] und damit $q$ (da $3$ eine Primzahl ist).
Dies ist ein Widerspruch zur angenommenen Teilerfremdheit von $p$ und $q$.
Liebe Grüße
Stefan
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