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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Mini273 |
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Hallo Leute,
ich soll zu einer Matrix A mit [mm] A^{t} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -4 & 0} \in \IR^{5,5} [/mm] (A transponiert) die reelle Jordan Normalform J bestimmen und die zugehörige Transformationsmatrix T, so dass [mm] T^{t}A(T^{t})^{-1} [/mm] = J ist.
Ich hab versucht, das mal zu tun, aber ich komm nicht weiter. ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.
Zunächst einmal hab ich das char. Polynom von [mm] A^{t} [/mm] berechnet:
[mm] p_{A^{t}} [/mm] = (2-t) [mm] (t^{2} [/mm] + [mm] 4)^{2}
[/mm]
Dann sind also die Eigenwerte [mm] t^{1}=2 [/mm] und [mm] t^{2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 2i
Dann hab ich die Eigenvektoren zu den Eigenwerten berechnet:
1) EV zu EW 2:
Durch Berechnung von [mm] A^{t} [/mm] - 2 E ergibt sich folgender EV zum EW 2 : [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
2) EV zu EW +2i: Durch Berechnung von [mm] A^{t} [/mm] - 2i E ergeben sich folgende EVn: [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2i}, \vektor{0 \\ 2 \\ i \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Und zum EW -2i (konjugiert komplexe zu +2i): ergeben sich folgende EVn: [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 2i}, \vektor{0 \\ -2i \\ i \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Stimmt das bisher? Ich hab das halt so gemacht wie bei der Bestimmung der gewöhnlichen Jordan Normalform.
Dann hab ich um die Transformationsmatrix T zu bestimmen, die komplexen EVn in Realteil und Imaginärteil zerlegt, also hab ich diese EV als Spalten von T: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2}
[/mm]
Stimmt das? Ich hab überhaupt keine Ahnung.
Dann ist T= [mm] T^{t}. [/mm] Nun hab [mm] (T^{t})^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0,5}
[/mm]
Dann hab ich [mm] T^{t}AT= [/mm] J berechnet: Es kommt das heraus:
J = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2}
[/mm]
da stimmt doch was nicht oder? Weil erstens hat der EW 2 nur die Vielfachheit 1, aber in der Matrix J taucht es 3 mal auf, und außerdem tauchen bei mir die EW +2i und -2i gar nicht auf. was hab ich falsch gemacht?
ich hoffe, es kann mir jemand weiterhelfen. Ich wäre echt sehr dankbar. Ich komm nämlich nicht allein auf die Lösung bzw. ich weiß nicht, was ich falsch gemacht hab.
Danke, viele Grüße
Mini273
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Hallo Mini273,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Dann ist T= [mm]T^{t}.[/mm] Nun hab [mm](T^{t})^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0,5}[/mm]
>
> Dann hab ich [mm]T^{t}AT=[/mm] J berechnet: Es kommt das heraus:
> J = [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2}[/mm]
>
> da stimmt doch was nicht oder? Weil erstens hat der EW 2
> nur die Vielfachheit 1, aber in der Matrix J taucht es 3
> mal auf, und außerdem tauchen bei mir die EW +2i und -2i
> gar nicht auf. was hab ich falsch gemacht?
die Eigenvektoren 2. Stufe zu den Eigenwerten [mm] \pm 2i[/mm] müssen noch bestimmt werden.
Das wird durch Lösen des Gleichungssystems [mm]\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)^2 \;e_{2\lambda } \; = \;0[/mm] erreicht. [mm]e_{2\lambda }[/mm] ist hier der Eigenvektor 2. Stufe zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm].
Das Gleichungssystem ist äquivalent zu [mm]\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)\;e_{2\lambda } \; = \;e_{1\lambda } [/mm].
Dann sieht T wie folgt aus:
[mm]T\; = \;\left( {e_{1,2} ,\;e_{1,2i} ,\;e_{2,2i} ,e_{1, - 2i} ,\;e_{2, - 2i} \;} \right)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Mini273 |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich versteh bloß nicht, was du mit EV der 2. Stufe meinst. Ich kann mit dem Begriff nichts anfangen.Könntest du es mir bitte nochmal erkären?
Danke,
Mini
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Hallo!
> Ich versteh bloß nicht, was du mit EV der 2. Stufe meinst.
Man kann einen solchen Vektor auch "verallgemeinerten Eigenvektor" nennen. Das bedeutet, dass zwar [mm] $e_2\ne \mathrm{Ker}(A-\lambda)$ [/mm] (d.h. [mm] $e_2$ [/mm] ist kein EV von $A$ zum EW [mm] $\lambda$), [/mm] aber [mm] $e_2\ne \mathrm{Ker}\big[(A-\lambda)^2\big]$...
[/mm]
Wenn [mm] $e_1$ [/mm] EV von $A$ zum EW [mm] $\lambda$ [/mm] ist, dann musst du mit diesem Ansatz nach [mm] $e_2$ [/mm] suchen: [mm] $(A-\lambda)e_2=e_1$...
[/mm]
Gruß, banachella
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Hallo Mini273,
> Hallo,
> vielen Dank für deine Antwort.
> Ich versteh bloß nicht, was du mit EV der 2. Stufe meinst.
> Ich kann mit dem Begriff nichts anfangen.Könntest du es mir
> bitte nochmal erkären?
es gibt keine Eigenvektoren 2. Stufe. So wie Du das gemacht ist ist es richtig.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Do 09.06.2005 | | Autor: | Mini273 |
hallo,
braucht man die EV 2. Stufe doch nicht? Ich hab sie jetzt nämlich ausgerechnet und komm auf insgesamt 9 EV und wollt grad fragen, wie ich diese 9 EV in die Matrix T einbringen soll.
Aber da du da sagst, dass man sie eh nicht braucht, hat sich die sache erledigt. Aber wiese braucht man diese EV doch nicht zur 2.Stufe? Wann weiß ich denn, wann ich aufhören soll? Wie viele EV bis zur welchen Stufe muss ich denn bestimmen???
ist das echt richtig, was ich da gemacht habe? ich versteh immer noch nicht, warum der EV 2 dreimal in der Matrix J vorkommt, obwohl er doch nur die Vielfachheit 1 hat. Und für welchen EW steht die -2? Ich hab als Ew gar nicht -2 heraus bekommen. Und wo sind die EW +2i und -2i??
Ich hoffe, du verstehst meine Probleme. Vielen Dank für deine Hilfe.
Gruß Mini
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Hallo Mini273,
> braucht man die EV 2. Stufe doch nicht? Ich hab sie jetzt
> nämlich ausgerechnet und komm auf insgesamt 9 EV und wollt
> grad fragen, wie ich diese 9 EV in die Matrix T einbringen
> soll.
> Aber da du da sagst, dass man sie eh nicht braucht, hat
> sich die sache erledigt. Aber wiese braucht man diese EV
> doch nicht zur 2.Stufe? Wann weiß ich denn, wann ich
> aufhören soll? Wie viele EV bis zur welchen Stufe muss ich
> denn bestimmen???
In der Regel musst Du die solange Eigenvektoren der nächsten Stufe bestimmen bis die Anzahl der Eigenvektoren zu diesem Eigenwert der algebraischen Vielfachheit entspricht.
Hier sind nur die Eigenvektoren 1. Stufe zu berechnen, da die algebraische Vielfachheit zum Eigenwert [mm]\lambda\;=\;2i[/mm] gleich der geometrischen Vielfachheit ist, d.h. die Dimension des Lösungsraums von
[mm]\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)\;e_\lambda \; = \;0[/mm]
ist 2. Also [mm]\dim \;Ker\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)\; = \;2[/mm]
> ist das echt richtig, was ich da gemacht habe? ich versteh
> immer noch nicht, warum der EV 2 dreimal in der Matrix J
> vorkommt, obwohl er doch nur die Vielfachheit 1 hat. Und
> für welchen EW steht die -2? Ich hab als Ew gar nicht -2
> heraus bekommen. Und wo sind die EW +2i und -2i??
Na ja, die Eigenvektoren sind nicht ganz richtig. Meine lauten da
Für den Eigenwert [mm]\lambda\;=\;2i[/mm]:
[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
{ - 2i} \\
1 \\
0 \\
0 \\
\end{array}} \right),\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
{2i} \\
\end{array}} \right)[/mm]
Für den Eigenwert [mm]\lambda\;=\;-2i[/mm]:
[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
{ 2i} \\
1 \\
0 \\
0 \\
\end{array}} \right),\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
{-2i} \\
\end{array}} \right)[/mm]
Nachdem was Du da gemacht hast, sieht ein elementarer Jordenblock zu den komplexen Eigenwerten so aus:
[mm]
\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 & { - 2} \\
2 & 0 \\
\end{array}} \right)
[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Do 09.06.2005 | | Autor: | Mini273 |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort. Ich hab die EV nochmal berechnet und komm letztendlich auf die gleichen EV wie du 
Um die Matrix T zu bestimmen, hab ich den EV zum EW 2 genommen: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] und die EV zum EW 2i. Dabei hab ich die beiden Vektoren in Realteil und Imaginärteil zerlegt.
Also:
[mm] \vektor{0 \\ -2i \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + i [mm] \vektor{0 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm]
und
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2i} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + i [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 2} [/mm]
Dann sind die Spalten von T bei mir der EV zum EW 2, also [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, [/mm] und jeweil der Realteil und Imaginärteil der komplexen EW.
Also T = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2}
[/mm]
Ist das so richtig? Dabei hab ich gar nicht die EV zum EW -2i genommen.
Aber wenn ich dann T transponiere und dann das Inverse dazu bestimme
und dann [mm] T^{t}A(t^{t})^{-1} [/mm] berechne, erhalte ich [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0}
[/mm]
Das ist doch was du auch meintest oder?. Der Jordanblock [mm] \pmat{ 0 & -2 \\ 2 & 0 } [/mm] taucht bei mir auf.
Aber stimmt überhaupt die Vorgehensweise von mir, dass die komplexen EV zerlegt habe in Realteil und Imaginärteil? Und ich habe die Ev zum EW -2i gar nicht verwendet.
Ich hoffe, du hilfst mir weiter. Danke
Gruß, Mini
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Hallo Mini273,
> Also T = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2}[/mm]
>
> Ist das so richtig? Dabei hab ich gar nicht die EV zum EW
> -2i genommen.
Bei mir sieht T so aus:
[mm]T\;=\;\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Aber wenn ich dann T transponiere und dann das Inverse dazu
> bestimme
> und dann [mm]T^{t}A(t^{t})^{-1}[/mm] berechne, erhalte ich [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0}[/mm]
Dann ergibt sich bei mir:
[mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 0}[/mm]
>
> Das ist doch was du auch meintest oder?. Der Jordanblock
> [mm]\pmat{ 0 & -2 \\ 2 & 0 }[/mm] taucht bei mir auf.
Genau , das meinte ich.
> Aber stimmt überhaupt die Vorgehensweise von mir, dass die
> komplexen EV zerlegt habe in Realteil und Imaginärteil? Und
> ich habe die Ev zum EW -2i gar nicht verwendet.
Den brauchst Du auch nicht.
Ich denke, Du kannst die Eigenvektoren zum EW 2i oder eben die zum EW -2i verwenden. Das wird sich dann wohl im Jordanblock widerspiegeln.
Gruß
MathePower
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