Reell-quadratische Zahlkörper < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 So 15.08.2010 | | Autor: | solero |
| Aufgabe | 1. Gebe eine nichttriviale Einheit für einen reell-quadratischen Zahlkörper an!
2. Beweise: Wenn es eine nichttriviale Einheit gibt, gibt es schon unendlich viele! |
Hallo,
ich weiß bei diesen beiden Aufgaben echt nicht weiter, zumal Beweisaufgaben überhaupt nicht mein Gebiet ist! Das Problem ist, dass wir Aufgaben dieser Art noch nie gehabt haben - auch in der Vorlesung wurde dergleichen nicht durchgenommen.
Das einzige was im Skript steht, ist das Rechnen in quadratischen Zahlkörpern und das kann ich noch nachvollziehen, aber wie soll ich jetzt daraus den obigen Beweis durchführen?!?
Und was mit nichttriviale Einheit gemeint ist, verstehe ich auch nicht. (Wir haben nicht mal die triviale Einheit durchgenommen!) Oder stehe ich jetzt einfach aufm Schlauch? ;(
Ich hoffe auf eure Hilfe!
LG, Rousi.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 So 15.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Rousi!
> 1. Gebe eine nichttriviale Einheit für einen
> reell-quadratischen Zahlkörper an!
> 2. Beweise: Wenn es eine nichttriviale Einheit gibt, gibt
> es schon unendlich viele!
> Hallo,
>
> ich weiß bei diesen beiden Aufgaben echt nicht weiter,
> zumal Beweisaufgaben überhaupt nicht mein Gebiet ist! Das
> Problem ist, dass wir Aufgaben dieser Art noch nie gehabt
> haben - auch in der Vorlesung wurde dergleichen nicht
> durchgenommen.
> Das einzige was im Skript steht, ist das Rechnen in
> quadratischen Zahlkörpern und das kann ich noch
> nachvollziehen, aber wie soll ich jetzt daraus den obigen
> Beweis durchführen?!?
> Und was mit nichttriviale Einheit gemeint ist, verstehe ich
> auch nicht. (Wir haben nicht mal die triviale Einheit
> durchgenommen!) Oder stehe ich jetzt einfach aufm Schlauch?
> ;(
Weisst du denn, was eine Einheit ist?
Die trivialen Einheiten sind $1$ und $-1$. Gesucht ist also eine weitere.
Schau dir mal die Gleichung [mm] $x^2 [/mm] - 2 [mm] y^2 [/mm] = 1$ an. Wenn du ganze $x, y [mm] \in \IZ$ [/mm] findest als Loesung, dann ist $x + [mm] \sqrt{2} [/mm] y$ eine Einheit in [mm] $\IQ(\sqrt{2})$. [/mm] (Beachte die 3. binomische Formel.)
Damit solltest du schnell eine nicht-triviale Einheit in [mm] $\IQ(\sqrt{2})$ [/mm] finden koennen.
Zu Aufgabenteil 2: zeige, dass wenn du eine nicht-triviale Einheit quadrierst, wieder eine Einheit herauskommt, deren $x$-Anteil sich z.B. echt vergroessert. Daraus folgt, dass es eine neue nicht-triviale Einheit ist. Dies kannst du beliebig oft wiederholen, um beliebig viele neue Einheiten zu bekommen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Mo 16.08.2010 | | Autor: | solero |
Vorab, vielen lieben Dank lieber Felix!!!
> Weisst du denn, was eine Einheit ist?
Also im Skript steht folgendes: [mm] "\varepsilon \in [/mm] R heißt Einheit, falls [mm] \varepsilon [/mm] ein mult. Inverses hat, d.h. falls [mm] \exists \gamma \in [/mm] R mit [mm] \varepsilon\gamma [/mm] = 1."
Also anhand dieser Definition verstehe ich jetzt, dass die Multiplikation mit einer Einheit gleich eins ist. Also bräuchte ich nur die Inverse zu suchen um auf die Einheit zu kommen.
Aber wie komme ich jetzt von dieser Definition auf die nichttrivialen Einheiten?
> Schau dir mal die Gleichung [mm]x^2 - 2 y^2 = 1[/mm] an. Wenn du
> ganze [mm]x, y \in \IZ[/mm] findest als Loesung, dann ist [mm]x + \sqrt{2} y[/mm]
> eine Einheit in [mm]\IQ(\sqrt{2})[/mm]. (Beachte die 3. binomische
> Formel.)
Soll ich das etwa wie folgt umformen?
[mm]x^2 - 2 y^2 = 1[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm](x + \sqrt{2} y)[/mm][mm](x - \sqrt{2} y)[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]x^2 - 2 y^2 = 1[/mm]
Wäre das denn korrekt so? Und was wäre in dem Fall meine nichttriviale Einheit? Etwa [mm](x + \sqrt{2} y)[/mm][mm](x - \sqrt{2} y)[/mm]?
Würde das dann heißen, es reicht wenn ich ein xbeliebiges Beispiel (wie dieses) vorführe? Dachte nämlich, dass man eine Formel herleiten sollte.
> Damit solltest du schnell eine nicht-triviale Einheit in
> [mm]\IQ(\sqrt{2})[/mm] finden koennen.
>
> Zu Aufgabenteil 2: zeige, dass wenn du eine nicht-triviale
> Einheit quadrierst, wieder eine Einheit herauskommt, deren
> [mm]x[/mm]-Anteil sich z.B. echt vergroessert. Daraus folgt, dass es
> eine neue nicht-triviale Einheit ist. Dies kannst du
> beliebig oft wiederholen, um beliebig viele neue Einheiten
> zu bekommen.
>
Hierzu kann ich leider noch nichts schreiben. Weiß nämlich nicht ob das was ich oben hingeschrieben habe richtig ist.
> LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Mo 16.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
man sollte posts schon genauer lesen:
ich zitiere nur Felix:
"Schau dir mal die Gleichung $ [mm] x^2 [/mm] - 2 [mm] y^2 [/mm] = 1 $ an. Wenn du ganze $ x, y [mm] \in \IZ [/mm] $ findest als Loesung, dann ist $ x + [mm] \sqrt{2} [/mm] y $ eine Einheit in $ [mm] \IQ(\sqrt{2}) [/mm] $. (Beachte die 3. binomische Formel.) "
und jetz versuch das zu verstehen.
und dann versuch mal auf deinen eigenartigen Vorschlag die Def. der einheit anzuwenden.
(in ner Einheit steht sicher nicht ein bel. x und y!!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Mo 16.08.2010 | | Autor: | solero |
Ehrlich gesagt hat mich deine patzige Antwort etwas durcheinander gebracht.
War denn jetzt dieser Weg
[mm] x^{2} [/mm] - [mm] 2y^{2} [/mm] = 1 [mm] \gdw [/mm] (x - [mm] \wurzel{2}y)(x [/mm] + [mm] \wurzel{2}y) [/mm] = 1
nicht korrekt?
Laut deiner Aussage gilt [mm] x^{2} [/mm] - [mm] 2y^{2} [/mm] = 1 für [mm] x=\pm3, y=\pm4. [/mm] Sind diese beiden Werte die nichttriviallen Einheiten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Mo 16.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es gilt doch nicht [mm] 3^2-2*4^2=1 [/mm] oder wie kommst du auf x=3,y=4??
WENN du ein Paar x1,y1 findest, das [mm] x^2-2y^2=1 [/mm] erfüllt, dann gilt doch [mm] x1+\wurzel{2}*y1 [/mm] ist eine Einheit, denn du findest ein Inverses, nämlich [mm] x1-\wurzel{2}*y1, [/mm] so dass das produkt 1 ergibt.
Deine eigene Def. verwenden, und überprüfen! was ist [mm] \epsilon, [/mm] was [mm] \gamma?
[/mm]
Gruss leduart
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