Reduzibilität von Polynom < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Di 08.04.2014 | | Autor: | CJcom |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgendes Polynom auf Reduzibilität in K[x]:
[mm] x^{14}+x^{3}+x^{2}+4 [/mm] für [mm] K=\IQ [/mm] |
Habe oben stehende Aufgabe zu lösen. Da Eisenstein hier nicht weiterhilft, habe ich überlegt, ob ich mit Substitution ein Polynom erhalte, mit dem ich besser arbeiten kann. Die Standardsubstitutionen y=x+1 und y=x-1 haben aber hier auch nicht weitergeführt.
Ich habe überlegt über das Reduktionskriterium auf die Irreduzibilität zu folgern. In [mm] \IF_{3} [/mm] zerfällt es zumindest nicht in Linearfaktoren. Allerdings müsste ich ja nun alle weiteren Fälle durchspielen und ausschließen und das ist bei grad 14 etwas nervig.
Gibt es irgendwelche Anregungen/ Kniffe bei der Aufgabe, die ich übersehen habe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Di 08.04.2014 | | Autor: | abakus |
> Untersuchen Sie folgendes Polynom auf Reduzibilität in
> K[x]:
>
> [mm]x^{14}+x^{3}+x^{2}+4[/mm] für [mm]K=\IQ[/mm]
> Habe oben stehende Aufgabe zu lösen. Da Eisenstein hier
> nicht weiterhilft, habe ich überlegt, ob ich mit
> Substitution ein Polynom erhalte, mit dem ich besser
> arbeiten kann. Die Standardsubstitutionen y=x+1 und y=x-1
> haben aber hier auch nicht weitergeführt.
> Ich habe überlegt über das Reduktionskriterium auf die
> Irreduzibilität zu folgern. In [mm]\IF_{3}[/mm] zerfällt es
> zumindest nicht in Linearfaktoren. Allerdings müsste ich
> ja nun alle weiteren Fälle durchspielen und ausschließen
> und das ist bei grad 14 etwas nervig.
> Gibt es irgendwelche Anregungen/ Kniffe bei der Aufgabe,
> die ich übersehen habe?
Hallo,
so richtig Elegantes kann ich nicht liefern. Aber: es lässt sich abschätzen, dass das Polynom keine Nullstellen besitzt.
Sollte es sich trotzdem in ein Produkt von Polynomen niedrigeren Grades zerlegen lassen, dann müsste die höchste Potenz von x eines jeden Faktors einen geraden Exponenten haben (ungerade Exponenten führen zwangsläufig zu Nullstellen).
Somit hast du nur 3 mögliche Fälle zu betrachten:
- Polynom 2. Grades mal Polynom 12. Grades
- Polynom 4. Grades mal Polynom 10. Grades
- Polynom 6. Grades mal Polynom 8. Grades
Gruß Abakus
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