Reduktion einer Kongruenz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Sin777 |
| Aufgabe | | Zeige durch eine geeignete Reduktion auf eine Kongruenz, dass die Diophantische Gleichung [mm] x^3 [/mm] + 5x + [mm] y^2 [/mm] + 1 = 0 keine Lösung besitzt. |
Mir geht es nicht um die Lösung dieser Aufgabe an sich sondern um einen Gedankenschritt. Warum genügt es zu zeigen, dass [mm] x^3 [/mm] + 5x + [mm] y^2 [/mm] + 1 [mm] \not\equiv [/mm] 0 (mod 3) ist?
Danke im Voraus
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Hallo Sin777,
> Zeige durch eine geeignete Reduktion auf eine Kongruenz,
> dass die Diophantische Gleichung [mm]x^3[/mm] + 5x + [mm]y^2[/mm] + 1 = 0
> keine Lösung besitzt.
> Mir geht es nicht um die Lösung dieser Aufgabe an sich
> sondern um einen Gedankenschritt. Warum genügt es zu
> zeigen, dass [mm]x^3[/mm] + 5x + [mm]y^2[/mm] + 1 [mm]\not\equiv[/mm] 0 (mod 3) ist?
Na, wenn man das allgemein (also für alle x,y) zeigen kann, dann gibt es offenbar keine Zahlen, die die Gleichung erfüllen.
So könntest Du z.B. auch nachweisen, dass [mm] a^2=8 [/mm] nicht lösbar ist, indem Du feststellst, dass [mm] 8\equiv 2\mod{3} [/mm] ist, Quadrate aber [mm] \mod{3} [/mm] immer in die Restklassen [0] oder [1] fallen.
Bei [mm] a^2=8 [/mm] ist das noch langweilig, bei [mm] a^2=1959527730772422472598503210838 [/mm] spart es aber Arbeit, auch wenn man hier ja feststellen kann, dass die [8] kein quadratischer Rest [mm] \mod{10} [/mm] ist - letztlich alles die gleiche Vorgehensweise wie in Deiner Aufgabe.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Sin777 |
Das ist es ja genau, was ich nicht verstehe... warum gibt es dann "offenbar" keine Zahlen die die Gleichung erfüllen... Wie kommt man darauf? Worauf beruht dieses "offenbar"?
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Hallo nochmal,
ich verweise erst einmal auf die Antwort von abakus (weiter unten im Thread).
> Das ist es ja genau, was ich nicht verstehe... warum gibt
> es dann "offenbar" keine Zahlen die die Gleichung
> erfüllen... Wie kommt man darauf? Worauf beruht dieses
> "offenbar"?
Nehmen wir mal das m.E. einfachste denkbare Beispiel.
Welches [mm] k\in\IN [/mm] erfüllt die Bedingung 2k-1=2 ?
Jetzt kannst Du natürlich losrechnen, findest (in [mm] \IQ) [/mm] die Lösung [mm] k=\bruch{3}{2} [/mm] und stellst fest: [mm] k\not\in\IN.
[/mm]
Du könntest aber auch die gegebene Gleichung ansehen und feststellen, dass auf der linken Seite eine ungerade Zahl steht und auf der rechten eine gerade. Das kann "offenbar" nie erfüllt werden. Dafür brauchst Du also IQ und die Äquivalenzumformungen gar nicht zu bemühen, eine Betrachtung [mm] \mod{2} [/mm] genügt - denn nichts anderes ist die Rede von geraden und ungeraden Zahlen.
Wenn es also keine Zahl gibt, die die Bedingung in einem bestimmten Restklassenring erfüllt, dann kann es überhaupt keine solche Zahl geben. Gäbe es sie, müsste sie ja gegen die erste Aussage verstoßen - womit wir letztlich wieder bei der Antwort von abakus wären.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Mi 06.07.2011 | | Autor: | abakus |
> Zeige durch eine geeignete Reduktion auf eine Kongruenz,
> dass die Diophantische Gleichung [mm]x^3[/mm] + 5x + [mm]y^2[/mm] + 1 = 0
> keine Lösung besitzt.
> Mir geht es nicht um die Lösung dieser Aufgabe an sich
> sondern um einen Gedankenschritt. Warum genügt es zu
> zeigen, dass [mm]x^3[/mm] + 5x + [mm]y^2[/mm] + 1 [mm]\not\equiv[/mm] 0 (mod 3) ist?
>
> Danke im Voraus
Hallo,
angenommen, es gäbe ein Paar (x;y) ganzer Zahlen, für das
[mm]x^3[/mm] + 5x + [mm]y^2[/mm] + 1 = 0 gilt.
Dann müsste natürlich für dieses Paar auch gelten
[mm]x^3[/mm] + 5x + [mm]y^2[/mm] + 1 [mm] \equiv [/mm] 0 mod m (und zwar für JEDES m!)
Die Annahme [mm]x^3[/mm] + 5x + [mm]y^2[/mm] + 1 = 0 ist also widerlegt, wenn man für irgendein m nachweisen kann, dass die Kongruenz NICHT gilt. Scheinbar lässt sich das für m=3 besonders leicht zeigen.
Gruß Abakus
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